矩阵理论(科学出版社)习题详细解答(2)

i

9． 由

i n

i 1

n

即得。

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

10．

11．

12．

13．

略 略

盖尔圆分离且A为实阵，故A有n个不同实根。（命题4.4.1 及其推论） 略

习题 五

1． 略

2． 略

3． 略

4． 略

1 0 0

5． （1） E A 0 6 2 2 2 4 10

0 3 5 4 7

1 0 0 1 0 0

2

， 0 0 4 4 0 0 0 3 0 2 1

0 0 -2

即初等因子为 2 ，故Jordan标准形为 2 1 0

0 2 1， 0 0 2

3

由AX=2X解出X1，再由AX-2X= X1求出X2及由AX 2X X2解出X3，则 P X1,X2,X3 即为所求。

6． 略

7．由于幂0阵的特征值全为0，故若其不为0阵则其Jordan标准形必含阶大于1的Jordan

块

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

0 1 0 1

， J=

1 0

但J的最小多项式为 r（r>1）有重根不能对角化，故幂0阵的Jordan标准形不能对角 8．设PAP

1

化，那它自己当然也不能对角化。

J

A

为A的Jordan标准形 及 ，

JA

0 * 0 0

0 * 0

dig 1, 2, , n dig i M，

* 0

易算出M

1

n

0，(PMP) o，而

1

1

1n

A PJAP Pdig i P PMP D N。

9．特征值为1,i, i，可对角化后计算。

xx2x2x

10．记V的基为e1e,e2 xe,e3 xe,e4 e则

T e1,e2,e3,e4

1 1 0 0 0 1 2 0

e,e,e,e A， e1,e2,e3,e4 1234

0 0 1 0 0 0 0 2

1 0 0 0 0 1 0 03 E A可初等变换为 ，故初等因子为 2, 1 ；以下略。 0 0 -1 0 3 0 0 0 -1

11．设A的标准形的Jordan块为J1,J2, Jr，则

r

mA x mJ1,mJ2, ,mJr , fA x

i 1

fJi，而mJi x fJ

i

x ，故fA mA时对应

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

于每个特征值的Jordan块仅有一个。

习题 六

1．（1）（2）略

（3）直接计算有 ，

AX

X,AX X

A*AX

AX,AAX AX

***

x AX,X Ax

*

*

由内积的性质得AX X 0 X A*X 0。

2． 设

A Udig 1, 2, , n U

*

，（U为酉矩阵），故

**

A Udig 1, 2, , n U，所以

**222

AA Udig | 1|,| 2|, ,| n| U，

3．（1）由A Udig 1, 2, , n U及A* U*dig 1, 2, , n U即得，

*

（2）由第2题得；

m

（3）Am U*dig 1m, 2m, , nm U，故由 i i知 i必为1或0

4．（1）（2）略

3222

（3）U*dig 13, 23, , n3 U U*dig 12, 22, , n2 U，由 i i i i故A A

（4）E Ak U*dig 1k, 2k, , nk U，又 i为实数，故 i为 1，所以A Udig 1,1, ,1 U E

2

*

5． 为AB的特征值，对应特征向量为X，则 AX

*

B AX AX X

**

*

XAX；

**

由A，B正定及A*正定和AX 0（A满秩）知

AX B AX

XAX

0

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

6． 由绍尔定理存在酉阵U

使得

1 b12 b13 b1n 2 b23 b2n

*

， UAU

bn 1,n

故

| 1|2 * *

22 * | | |b| * 212

**

，故 UAAU

n 1

2 * * | | |b in n

i i

( A ) tr AA

2

*

7

．设

令Y UX，则

A Udig 1, 2, n U，U为正交阵，

T

|XAX| | iyi2| max | i| YTY CXTX，其中C max | i|

T

i 1

n

8．设A VPV(V为酉阵),则VAV P，而

AB正规 VABV正规 PVBV正规并且AB BA PVBV VBVP，故不妨设 1E1 B11 B12 B1r

2E2B21B22 B2r

,B ， A

EBB B rr r1r2rr

*

*

*

*

*

*

其中 i互不相同，则由AB=BA知

Bij 0（当i j时），即B dig B11,B22, ,Brr ；

易证Bii为正规阵，故存在酉阵U1,U2, ,Ur使得

dig(U1,U2, ,Ur)Bdig U1,U2, ,Ur 为对角阵，令U dig U1,U2, ,Ur ，则

*

*

*

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

U*ABU为对角阵，故AB为正规阵。

9．略

P*

10．AA

* B

*

**

0 PB PPPB

E，故 ** **

0QQ BPBB QQ

***

P*P E,BP 0,P B0,B B

*

由此即可算出。 Q QE

11．特征多项式相同 特征值及其重数都相同 两个矩阵与同一对角阵相似。

12．计算出fA 1 2 ax b ，特征值为 1, 2, 2，故

1所对应的特征向量为旋转轴，旋转角由cos Re 2,sin Im 2决定。

13．特征值为 1，求出特征向量即可。

14． 对X V，

TX,TX TX TX x

X

TTT

T

2YYX 2YY

TT

T

2XYY

T

T

X

T

x

X

T

T

2YYX

T

T

T

XX 2XYYX 2XYYX 4XYYYYX XX

T

注意到上式已用到YYT ||Y||2 1。

15．两者均为正规阵，故求出特征向量并标准化即可。

习题 七

1． 略；2。略

3．（1）由 T*T E 得 （2）由

TA

*

TA AA 得

*

4．见习题六第6题的证明，注意被酉阵乘后不改变这两种范数。

5．略；

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6．不一定，反例略；

7．由limAA limAlimA得；

n

n

n

n

n

n

n

8．可简单计算出最小多项式为 1 ，且函数f x

2

k 0