矩阵理论(科学出版社)习题详细解答

矩阵理论 研究生教科丛书。苏育才、姜翠波、张跃辉编

习题 一

1．（1）因

cosnx sinnx cosx sinx cos(n 1)x sin(n 1)x

= ，故由归纳法知

sinnx cosnx sinx cosx sin(n 1)x cos(n 1)x

cosnx sinnx A 。

sinnx cosnx

n

（2）直接计算得A4 E，故设n 4k r(r 0,1,2,3)，则An A4kAr ( 1)kAr，即只需算出A2,A3即可。

0 1 0 1

，则 ， （3）记J=

1 0

1n 12n 2n

an Cn a Cna Cn n1n 1n 1 a Ca Ca nn n

。 a

C1an 1

n

n

a

n

A (aE J)

nn

C

i 0

i

n

aJ

in i

1 a 12

2．设A P P(a 1,0),则由A E得

0 2

2

1 1 1 1 1 2 1

a 1时, 不可能。 2

0 1 0 1 0 1

2

1 0 1 0 1 0 1

而由a 0时, 知 i 1所以所求矩阵为PBiP， 2

0 0 2 2 0 2

其中P为任意满秩矩阵，而

1 0 1 0 1 0

B1 ,B ,B 2 3 。

0 10 1 0 1

注：A2 E无实解，An E的讨论雷同。

3．设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵X有AX=XA，即把X看作n个未知数时线

性方程AX XA=0有n个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

2

2

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通过直接检验即发现A为纯量矩阵。an an 1 a1 0

4．分别对（A B）和

5．先证A或B是初等到阵时有 AB B*A*，从而当A或B为可逆阵时有 AB B*A*。

考虑到初等变换A对B的n 1阶子行列式的影响及A* A 1即可得前面提到的结果。 Er 0

下设PAQ （这里P，Q满秩），则由前讨论只需证下式成立即可： ，

0 0

*

*

A

作行（列）初等变换即可。 C

Er 0 Er 0 *

B B ， 0 00 0

**

（1） r<n-1时，因秩小于n-1的n 阶方阵的n-1阶子式全为0，结论显然；

Er 0 0 0

（2） r=n-1时，

0 0 0 1

*

Bn1

Bn2

Er 0 *

，B ，但

0 0

0 B nn

*

b11b12 b1n b11b12 b1n

Er 0 b21b22 b2n b21b22 b2n

，故 0 0

bb b0 0 0 nn n1n2

Bn1

Bn2*

E 0 Er 0 r*

。 B B

0 00 0

0 Bnn

*

6．由r(A) r(A)及AX 0 (AX)AX 0，即AX 0与AAX 0同解，此即所

求证。

7．设其逆为 aij ，则当I固定时由可逆阵的定义得n个方程

ai1 ai2 w

j 1

1

ai3 w

j 1

2

ain w

j 1

n 1

ij，j 1,2, n，

j 1 n l

其中 ij为Kronecker符号。对这里的第l个方程乘以wnw

j 1 n 1

然后全加起来得

aij w

j 1 n i

，即得aij

1n

w

j 1 n 1 i

。

注：同一方程式的全部本原根之和为0，且w也是本原根（可能其满足的方程次数小于n）。

m

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习题 二

1x

1． 因x 1 x 1 x，所以V中零元素为1，x的负元素为

分配律。

，再证结合律、交换律和

2． 归纳法：设W1 W2 Ws 1 V，则下面三者之一必成立：

（1）W1 W2 Ws 1 Ws； （2）W1 W2 Ws 1 Ws。

（3） 存在 W1 W2 Ws 1\Ws及 Ws\(W1 W2 Ws 1)。 如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数k1,k2, ,ks，则必有某一个ki W1 W2 Ws。

3． U是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为n2 1，故其补空间为一维的，可由任一迹

非0的矩阵生成。

n 1n 2

4． 易证线性封闭。又设V中元素为f anx an 1x a1，则U是满足方程

an an 1 a1 0的子空间。故U的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系

数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。

5． 记U= u1,u2,u3 ，W w1,w2 ，把U,W放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite标

准形为

1 4 5 1 2

15

0 1 1

39 ，

0 0 0 1 3 0 0 0 0 0

U Wu1；w1；故U W的基为 3w1 w2，U的基为 3w1 w2，W的基为 3w1 w2，

的基为 3w1 w2，u1，w1。

x y z w 0 1 1 1 1

，r 2，

1 1 1 1x y z w 0

6．U W (x,y,z,w)

故dim U W 2,dim U W dimU dimW dim U W 4；

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U W的基为方程组的解向量 0,1,1,-1 和 1,1, 1, 1 。

j 1

7．（1）由x (x 1) aiXi知xj可表示为(x 1)i线性组合，由基定义知其为一组基。

i 0

jj

n

n

i

（2）由 aix

i 0

b x 1

i

i 0

i

j

及x (x 1 1)

jj

C x 1

i

j

i 0

i

j

得bj

C

k 0

jkak。

注：当k<j时，Ckj 1。

8．由 j为 1, 2, , t的线性组合知存在矩阵A使得 1, 2, , s 1, 2, , t A，由 i线性无关可知r A s故s t，把A的Hermite标准形非0行的第一个非0元所在列对应的 i全替代为 i即为所求。

9．易证为子空间；

习题

1．略

a b y1

2． x,y x1,x2 （3）显然；而 ，故内积定义的（1）

b c y2

U为B在空间Z XAx F

n

上的核空间，故

n

dimU dimZ XAX F

r AB r A r AB 。

三

（2）成立

a b 2

a 0,ac b 0。 为正定矩阵

b c

3．（1）（3）显然

（2）(f,f) 0且等号成立当且仅当(f,f) 0

2

f 0 f 0 f 0 2 2

f

2

0

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acos bsin 0 a b 0 f 0。

acos bsin 0 22

||h(t)||

5。

习题 四

1． 设AB的特征值及其对应的特征向量为 i,Xi，即ABX

i

iX

i

，如BXi 0，

则 i 0（注意到只能有一个特征值为0）。故由BABXi iBXi知BA与AB特征值勤全相同，所以它们都相 …… 此处隐藏：2037字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……