2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷(2)

20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分

层抽样与性别无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

11

C4 C68

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P 2

C1015

（III） 的可能取值为0，1，2，3

1111221

C3C4C6C3C4C4C2628

， P( 0) 2 1 ，P( 1) 2 1 2 1

C10C575C10C5C10C575

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21

31C6C210

P( 3) 2 1 ，P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3)

75C10C575

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算P( 2)时，采用分类的方法，

用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

21（本小题满分12分）

x2y2 已知椭圆C:2 2 1(a b

0)F的直线l与C相交

ab于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l

（I）求a，b的值；

（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP OA OB成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解:(I）设F(c,0)，直线l:x y c 0，由坐标原点O到l

cc 1.

又e a b

ax2y2

1.设A(x1,y1)、B(x2,y2) （II）由(I）知椭圆的方程为C:32

由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设 l:x my 1

22

代入椭圆的方程中整理得(2m 3)y 4my 4 0，显然 0。

4m4

,yy ,．．．．．．．．① 1222

2m 32m 3

.假设存在点P，使OP OA OB成立，则其充要条件为：

由韦达定理有：y1 y2

(x1 x2)2(y1 y2)2

1。 点P的坐标为(x1 x2,y1 y2)，点P在椭圆上，即

32

整理得2x1 3y1 2x2 3y2 4x1x2 6y1y2 6。

2

2

2

2

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又A、B在椭圆上，即2x12 3y12 6,2x22 3y22 6.

故2x1x2 3y1y2 3 0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将x1x2 (my1 1)(my2 1) m2y1y2 m(y1 y2) 1及①代入②解得m

2

1

2

4m233 2 ,x1 x2= ,

即 y1 y2 P(, .

2

2m 322222

当m

3,P(,l:x y 1;

23,P(l:x y 1. 2当m 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理

和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分12分)

设函数f x x aIn 1 x 有两个极值点x1、x2，且x1 x2

2

（I）求a的取值范围，并讨论f x 的单调性； （II）证明：f x2

1 2In2

4

a2x2 2x a (x 1) 解: （I）f x 2x 1 x1 x

令g(x) 2x 2x a，其对称轴为x

2

1

。由题意知x1、x2是方程g(x) 0的两个2

4 8a 01

均大于 1的不相等的实根，其充要条件为 ，得0 a

2 g( 1) a 0

⑴当x ( 1,x1)时，f x 0, f(x)在( 1,x1)内为增函数； ⑵当x (x1,x2)时，f x 0, f(x)在(x1,x2)内为减函数；

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⑶当x (x2, )时，f x 0, f(x)在(x2, )内为增函数； （II）由（I）g(0) a 0,

1

x2 0，a (2x22+2x2) 2

f x2 x22 aln 1 x2 x22 (2x22+2x2)ln 1 x2

设h x x (2x 2x)ln 1 x (x )，

2

2

12

则h x 2x 2(2x 1)ln 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x ⑴当x (

11

,0)时，h x 0, h(x)在[ ,0)单调递增； 22

⑵当x (0, )时，h x 0，h(x)在(0, )单调递减。

111 2ln2

当x ( ,0)时,h x h( )

2241 2In2

故f x2 h(x2) ．

4