2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷

2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）

一、选择题： 1.

10i

2-i

A. -2+4i

B. -2-4i

C. 2+4i

D. 2-4i

解：原式

10i(2+i)

2 4i.故选A.

(2-i)(2+i)

2. 设集合A x|x 3 ,B x|

A.

x 1

0 ，则A B= x 4

C. 2,1

D. 4.

B. 3,4

解：B x|

x 1

0 x|(x 1)(x 4) 0 x|1 x 4 . A B (3,4).故选B. x 4

12

， 则cosA 5

1255

A. B. C.

131313

12

解：已知 ABC中，cotA ， A

(, ).

52

3. 已知 ABC中，cotA

D.

12

13

cosA

12

故选D. 13

4.曲线y

x

在点 1,1 处的切线方程为 2x 1

A. x y 2 0 B. x y 2 0 C.x 4y 5 0 D. x 4y 5 0

解：y |x 1

2x 1 2x1

| [ ]| 1, x 122x 1

(2x 1)(2x 1)

故切线方程为y 1 (x 1),即x y 2 0 故选B.

E为AA1中点，5. 已知正四棱柱ABCD A则异面直线BE与CD1，1BC11D1中，AA1 2AB

所成的角的余弦值为

A.

B.

1

5

C.

D.

3 5

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BE与CD1所成的角即A1B 解：令AB 1则AA1 2,连A1B C1D∥A1B 异面直线

与BE所成的角。在

A1BE中由余弦定理易得cos A1BE 6. 已知向量a

2,1 ,a b 10,|a b| ，则|b|

A.

故选C

B.

C.5 D. 25

2 2 2 2

解： 50 |a b| |a| 2a b |b| 5 20 |b| |b| 5。故选C

7.

设a log3 ,b log2c log3

A. a b c

B. a c b

C. b a c

D. b c a

解

： log3 log2

lo2

log2b c

3

lo2g 2

.故选A. lo g3 ag b a b c3lo

8. 若将函数y tan x

4

的图像向右平移 0

个单位长度后，与函数6

y tan x 的图像重合，则 的最小值为

6

A．

1

6

B.

1

4

C.

1 3

D.

1 2

向右平移6个单位

解：y tan x y tan[ (x ) ] tan x

4 646

4

6

k

又 0 min

1

6k (k Z)， 621

.故选D 2

9. 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C:y2 8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA| 2|FB|，则k

A.

12

C.

D. 332

解：设抛物线C:y 8x的准线为l:x 2直线

y k x 2 k 0 恒过定点P 2,0 .如图过A、B分 别作AM l于M,BN l

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于N, 由|FA| 2|FB|,则|AM| 2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则

|OB|

1

|AF|, |OB| |BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标

为2

k

0故选D

1 ( 2)3

10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

222

解：用间接法即可.C4 C4 C4 30种. 故选C

x2y2

11. 已知双曲线C2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为F,过F

的直线交C

ab

于A、B两点，若AF 4FB,则C的离心率为A．

6759 B. C. D. 5585

x2y2

解：设双曲线C2 2 1的右准线为l,过A、B分 别

ab

作AM l于M,BN l于N, BD AM于D,由直线AB的斜率

为

,知直线AB的倾斜角为

1

|AB|, 2

第

二

定

义

有

60 BAD 60 ,|AD|

由

双

曲

线

的

1

|AM| |BN| |AD| (|AF| |FB|)

e 11

|AB| (|AF| |FB|). 22

5 16

又 AF 4FB 3|FB| |FB| e 故选A

e25

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是

A. 南 C. 西

B. 北 D. 下

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解：展、折问题。易判断选B

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

解

：

13. 的展开式中xy的系数为。

xy

，只需求展开式中的含xy项的系数：

4

33

4

2244

2C4 6

14. 设等差数列 an 的前n项和为Sn，若a5 5a3则

S9

S5

解： an 为等差数列，

S99a5

9 S55a3

15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面

7

，则球O的表面积等于 8 . 4

7 72

,得r2 . 解：设球半径为R，圆C的半径为r，由4 r 44

得到圆C。若圆C的面积等于

因为OC

22127RR) r R 得R2 2.故球O的表

。由R2 4842面积等于8 .

16. 已知AC、BD为圆O:x2 y2

4的两条相互垂直的弦，垂足为M,则四边形

ABCD的面积的最大值为

解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22 OM2 3. 四边形ABCD

的面积S

1

|AB| |CD| 8 (d12 d22) 5 2

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）

设 ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A C) cosB

3，2

b2 ac，求B。

s (C )分析：由coA

3

Bc，s易想到先将B (A C)代入2

2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷

cos(A C) cosB

展开得sinAsinC

33得cos(A C) cos(A C) 然后利用两角和与差的余弦公式22。

322；又由b ac，利用正弦定理进行边角互化，得sinB sinAsinC，

4

进而得sinB

2 2 .故B 或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当B

3332

13

，进而得cos(A C) cos(A C) 2 1，矛盾，22

2

。不过这种方法学生不易想到。 3

时，由cosB cos(A C) 应舍去。

也可利用若b ac则b a或b c从而舍去B 评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18（本小题满分12分）

2

如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE 平面BCC1 （I）证明：AB AC

（II）设二面角A BD C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE， ABC A1B1C1为直三棱柱， B1BC 90 ,

E为B1C的中点， BE EC。又DE 平面BCC1，

BD DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA 平面ABC， AB AC（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF∥DE，

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