2019届高中数学 2.2.2对数函数及其性质(3)精讲精析 新人教A版必

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课题：2.2.2对数函数及其性质（3）

精讲部分

学习目标展示

（1）熟练掌握对数函数概念、图象、性质（2）掌握对数型复合函数的单调性；

（3）会解决有关对数函数的综合问题

衔接性知识

1. 判断函数2()log (2

1)f x x =+与2()log (21)g x x =-+的单调性并用定义加以证明 2. 判断函数12()log (21)

f x x =+与12

()log (21)g x x =-+的单调性并用定义加以证明 3.由来1与2的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？

典例精讲剖析

例 1. 已知函数()log (21)([2,14])a f x x x =-∈的图象经过点(5,2)-，其中0a >且1a ≠.

(1)求a 的值；

(2)求函数()log (21)([2,14])a f x x x =-∈的值域．

[分析]由函数()f x 的图象经过点(5,2)-知，(5)2f =-可求得a 的值，由()f x 的单调性可求()f x 的值域．

[解析](1)∵函数图象过点(5,2)-，∴(5)2f =-，log 92a ∴=-，即29a -=， 0a >且1a ≠，13

a ∴= (2) 13

()log (21)([2,14])f x x x =-∈，

设21u x =-，则由[2,14]x ∈，得327u ≤≤

∵13()log f x u =在[3,7]u ∈是减函数，所以111333log 27log log 3u ≤≤，即31y -≤≤-

所以函数()log (21)([2,14])a f x x x =-∈的值域为[3,1]--．

例2.（1）求函数22log (23)y x x =-+的单调区间

（2）求函数212

log (23)y x x =-+的单调区间

（3）已知0a >，且1a ≠，讨论函数2log (23)a y x x =-+的单调性

[解析]（1）2223(1)20x x x -+=-+>，所以函数的定义域为R

21>，22log (23)y x x =-+的单调性与223y x x =-+相同

而2223(1)2y x x x =-+=-+，

223y x x ∴=-+在[1,)+∞单调递增，在(,1]-∞单调递减

所以22log (23)y x x =-+在[1,)+∞单调递增，在(,1]-∞单调递减

故22log (23)y x x =-+的递增区间为[1,)+∞，递增区间为(,1]-∞

（2）2223(1)20x x x -+=-+>，所以函数的定义域为R 1012<<，212

log (23)y x x ∴=-+的单调性与223x x -+相反 而2223(1)2y x x x =-+=-+，

223y x x ∴=-+在[1,)+∞单调递增，在(,1]-∞单调递减

所以223y x x =-+在[1,)+∞单调递减，在(,1]-∞单调递增

故223y x x =-+的递增区间为(,1]-∞，递增区间为[1,)+∞

（3））2223(1)20x x x -+=-+>，所以函数的定义域为R

2223(1)2y x x x =-+=-+，

223y x x ∴=-+在[1,)+∞单调递增，在(,1]-∞单调递减

当1a >时，2log (23)a y x x =-+在[1,)+∞单调递增，在(,1]-∞单调递减；

当01a <<时，2log (23)a y x x =-+在[1,)+∞单调递减，在(,1]-∞单调递增； 例 3. 若函数(6)41()log 1a a x a x f x x x --<?=?

≥?是(,)-∞+∞上的增函数，试求实数a 的取值范围

[分析]()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，故在(,1)-∞上和[1,)+∞上都单调增，即(6)4(1)y a x a x =--<和y log (1)a x x =≥都是增函数，且在[1,)+∞上的最小值不．小．

于．

在(,1)-∞上的最大值． [解析]因为()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，故在(,1)-∞上和[1,)+∞上都单调增，即

(6)4(1)y a x a x =--<和y log (1)a x x =≥都是增函数，且在[1,)+∞上的最小值不．小．

于．

在(,1)-∞上的最大值．故结合图象知 11606(6)14log 165a a a a a a a a ???>>??->?<????-?-≤??≥?，解得665a ≤<，故实数a 的取值范围6[,6)5 例4.已知函数()log (1)(0x a f x a a =->且1)a ≠

(1)求()f x 的定义域；(2)讨论()f x 的单调性；(3)x 为何值时，函数值大于1.

[解析] (1) 使()log (1)x a f x a =-有意义，则10x a ->即1x a >

当1a >时，0x >；当01a <<时，0x <

因此，当1a >时，函数()f x 的定义域为{}0|x x >；当01a <<时，函数()f x 的定义域为{}0|x x <．

(2)当1a >时1x y a ＝－为增函数，因此(1)x a y log a ＝－为增函数；当01a <<时1x y a ＝－为减函数，因此()log (1)x a f x a =-为增函数

综上所述，()log (1)x a f x a =-为增函数．

(3)当 1a >时()1f x >即1x a a >－，∴1x a a >＋∴()1a x log a >＋

当01a <<时，()1f x >即01x a a <<－∴11x

a a <<＋，∴0)1(a log a x <<＋. 例5. 已知函数2

2()log ()f x x ax a =--

（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围

（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围

[解析]（1）因为函数()f x 的定义域为R ，所以20x ax a -->对一切实数x 都成立，所以2y x ax a =--的图象开口向上且与x 轴无交点，从面有24(4)0a a a a ?=+=+<，