2010海天-人信考研数学强化班-高数第六章 常微分方程(2)

（1） sinx （2） cosx 得 cosxy sinxy c1ex(coxs sinx) 从而有

y y

2cosxcosx sinx

y

2sinxcosx sinx

y

8.求方程y a2y sinx的通解,其中常数a 0 解 齐次方程特征方程为 2 a2 0 特征根为 ai

1）若a 1，则非齐次特定特解为y* Acosx Bsinx代入原方程得

A 0,B

1a 1

2

，

1a 1

2

则原方程通解为y c1cosax c2sinax 2）若a 1，则非齐次方程待定特解为

sinx

.

y x(Acosx Bsinx)

*

代入原方程得 A

12

，B 0

12xcosx

则原方程通解为，y c1cosx c2sinx

这个可以看看,免费

a 1,y

sinx C1cosax C2sinax2

a 11

a 1,y xcosx C1cosx C2sinx

2

1

题型二。综合题

例6.4 求连续函数f(x)，使它满足 f(tx)dt 2f(x) x.

01

解 令tx u,则 f(xt)dt

1

x0

f(u)dux

2

x0

f(u)du 2xf(x) x

f(x) 2f(x) 2xf (x) 2xf (x) f(x)

12x1x

2

f(x) 1 ( 13

x C)

3

由题设知f(0) 0,则C 0,f(x)

x

13

x.

例6.5设f(x)连续,且满足 f(t)dt=x

x0

tf(x t)dt

,求f(x).

解 令x t u，则

x0

tf(x t)dt

x0x

(x u)f(u)du

x

x f(u)du uf(u)du

从而有

x0

f(t)dt x x f(u)du

x

x0

uf(u)du

f(x) 1

x0

f(u)du xf(x) xf(x)

f(x) 1

x0

f(u)du

f (x) f(x)， f(x) cex

x

f(0) 1，c 1，f(x) e

x0

例6.6设f(x)=sinx

x

(x t)f(t)dt

,其中f(x)为连续函数.求f(x) （1）

解 f(x) sinx x f(t)dt

x0

x0

tf(t)dt

f (x) cosx f(t)dt （2）

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f (x) sinx f(x)

即 f (x) f(x) sinx （3） 由（1）式知f(0) 0，由（2）式知f (0) 1. 非齐次方程（3）对应的齐次方程特征方程为

2

1 0， i

设方程（3）的待定特解为f x(acosx bsinx)，代入（3）式得a 则方程（3）的通解为f(x) c1cosx c2sinx 由f(0) 0和f (0) 1可得，c1 0，c2 则 f(x)

12sinx

x2cosx

12

12

xcosx

12

,b 0

.

，

a 12

12,b 0

12sinx

x2cosx

f (x) f(x) sinx,y x(acosx bsinx),12

xcosx,C1 0,C2

f(x) C1cosx C2sinx

,f(x)

例6.7设f(x)在( , )上有定义，f (0) 2，对任意的

x

y

x,y,f(x y) ef(y) ef(x)求f(x).

解 f (x) lim lim

f(x x) f(x)

x

x

x

x 0

ef( x) ef(x) f(x)

x 0

x

f( x) x

f(x)

exlim

x 0

(f(0) 0)

exf (0) f(x) 2ex f(x)

f(x) 2xe

x

例6.8设f(x)有连续一阶导数，(xy yf(x))dx (f(x) y2)dy du(x,y),求

f(x)及u(x,y)，其中f(0) 1.

解 由题设知 x f(x) f (x)

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即 f (x) f(x) x

f(x) (x 1) ce

x

由f(0) 1知，c 0，f(x) x 1

du(x,y) ydx [(x 1) y]dyu(x,y) y(x 1)

13y c

3

2

.

x

例6.9设f(u)具有二阶连续导数,而z f(esiny)满足方程解 令u exsiny，则

z x

z y

z x

2

2

+

z y

2

2

ze

2x

。

f (u)esiny,

x

z x

2

2

2

2x

f (u)esin

2

x

y f (u)esiny；

f (u)ecosy,

x

z y

2

2x

f (u)ecos

2

x

y f (u)esiny.

将

z x

2

2

和

z y

2

2

代入等式

z x

2

2

+

z y

2

2

ze

2x

得

f (u) f(u)，即 f (u) f(u) 0.

这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，特征方程为 2 1 0, 1，则

f(u) c1e c2e

u

u

.

例6.10设函数y y(x)在( , )内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y y(x) 的反函数.

dx（1）试将x x(y)所满足的微分方程2 (y sinx)

dy dy

dx

2

0变换为y y(x)

3

满足的微分方程; y y sinx . （2）求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y (0) 解 （1）

dxdy

1y

32

的解.

，

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dxdy

2

2

ddx

(

1

y dy

)

dx

y y

3

y 1y

2

y

将以上两式代入原方程得 y y sinx （2）特征方程为 2 1 0， 1 非齐次待定特解为y* Acosx Bsinx. 代入y y sinx得，A 0,B

12

.

12sinx.

则非齐次方程通解为y c1ex c2e x 由y(0) 0，y (0)

32

可得 c1 1,c2 1.

12

sinx.

则所求特解为：y ex e x

题型三。应用题

例6.11设曲线y f(x)为连续A(1,0)与B(0,1)的弧段且位于弦AB的上方(如右图),P(x,y) 为其上任意一点,弦BP与该曲线围成的面积为x3,试求该曲线方程. 解 x

y

3

x0

1x

f(t)dt

x2

[1 f(x)] 1x

y 6x

，y Cx 6x2 1，y 5x 6x2 1

例6.12设对任意x 0，曲线y f(x)上点(x,f(x))处的切 线在y轴上的截距等于

1x

x0

f(t)dt

，求f(x).

解 曲线y f(x)在点(x,.f(x))处的切线方程为

Y f(x) f (x)(X x)

令X 0得Y f(x) xf (x)， 于是

f(x) xf (x)

2x

x0

f(t)dt

这个可以看看,免费

即 xf(x) x2f (x)

x0

f(t)dt

2

f(x) xf (x) 2xf (x) xf (x) f(x)

xf (x) f (x) 0

(xf (x)) 0， xf (x) c1，f (x)

c1x

f(x) c1lnx c2

例6.13设y(x) (x 0)二阶可导,且y (x) 0 y(0) 1.过y y(x)上任意点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述二直线与x

轴所围三角形面积记为

S1,区间[0,x]上以y y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,且2S1 S2 1,求

y(x).

, 0 y y

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