2010海天-人信考研数学强化班-高数第六章 常微分方程

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第六章 常微分方程

1．一阶方程

1）可分离变量y f(x)g(y)

2）齐次 y f()， 令

xy

yx u

。

3）线性 y P(x)y Q(x)

p(x)dx p(x)dxdx C 通解： y e Q(x)e

4）伯努利 y P(x)y Q(x)y

( 1)，

令y1 u.

5）全微分 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0. a) 判定:

P y

Q x

b) 解法:

1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分u(x,y)

xx0

P(x,y)dx

yy0

Q(x0,y)dy

2．可降阶方程:（数三不要求）

1) y f(x)

2) y f(x,y ) 令y P,y

dPdx

dPdy

3) y f(y,y ) 令y P,y P

3．高阶线性方程:

1) 变系数: y p(x)y q(x)y f(x) 非齐次 y p(x)y q(x)y 0 齐次 解的结构: a) 齐次通解 c1y1 c2y2,其中y1,y2为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

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c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数:

a) 齐次 y a1y a2y 0 特征方程 2 a1 a2 0

设 1, 2是特征方程两个根

1）不等实根： 1 2， y C1e x C2e x；

1

2

2）相等实根： 1 2 ， y e x(C1 C2x)；

3）共轭复根： 1,2 i ， y e x(C1cos x C2sin x)；

b) 非齐次：

y a1y a2y f(x)

1,f(x) Pn(x)e

ux

令y xkQn(x)eux k等于u作为特征方程根的重数.

2,f(x) e

x

Pl(x)cos x Pm(x)sin x

令y xke x Qn(x)cos x Wn(x)sin x .n max{l,m}

3） 欧拉方程 （仅数一要求）

xy

n

(n)

a1x

n 1

y

(n 1)

an 1xy any f(x)

令x et， xky(k) D(D 1) (D k 1)y

4． 差分方程（仅数三要求）

1。一阶常系数线性齐次差分方程

yt 1 ayt 0, （1）

通解为 yc(t) C ( a)t, 2。一阶常系数线性非齐次差分方程

yt 1 ayt f(t), （2）

通解为 yt yc(t) yt*.

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其中yt 是非齐次差分方程（2）的特解。

1) f(t) Pm(t),

（1）若a 1, 令 yt Qm(t); （2）若a 1, 令 yt tQm(t); 2）f(t) dt Pm(t)， (d 0)

（1）若a d 0, 令 yt dt Qm(t); （2）若a d 0, 令 yt tdt Qm(t);

例 差分方程2yt 1 10yt 5t 0的通解为 . 解： 原方程的一般形式为 yt 1 5yt

52t

，

其对应的齐次差分方程为 yt 1 5yt 0,

其通解为 yc(t) C( 5)t （C为任意常数）.

因为f(t)

*

52

t是t的一次多项式，且a 5 1，故设原方程的特解为

yt At B

，

代入原方程，得

A(t 1) B 5(At B)

52t,

即 6At A 6B 比较系数知A

512,B

*

52

t.

51216(t ).

16)

572

，故yt*

t

，从而原差分方程的通解为

yt yc(t) yt C( 5)

512

(t

例 差分方程yt 1 yt t 2t的通解为 . 解： 原方程对应的齐次差分方程为

yt 1 yt 0,

其通解为 yc(t) C(1)t C （C为任意常数）. 因为f(t) t 2t，且a d 1 2 1 0，故设原方程的特解为

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yt 2(At B),

*t

代入原方程，得 2t 1[A(t 1) B] 2t(At B) t2t 即 At 2A B t.

比较系数知A 1,B 2，故yt* 2t(t 2)，从而原差分方程的通解为

yt yc(t) yt C 2(t 2).

*

t

题型一 微分方程求解

例6.1求解下列一阶微分方程

(1) y xy2 y2 1 x (2) xy y 2xy (3) y

x y 12x y 2

1xy y

3

(4) y

(5) y cos(x y) (6) 求方程y sec2y

x1 x

2

tany x

满足条件y

x 0

0的特解.

(7) (x siny)dy tanydx 0 解（1） y (1 y2)(1 x)

dy1 y

2

(1 x)dx

1x

arctany x x c

2

（2） y 令u

yx

yx

2

yx

dudx

u 2u

，y xu， u x

du

dxx

2(u u)

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x

xy c

（3）解 令x X a,y Y b.

dYdX

X y a b 12X y 2a b 2

14令

a b 1 0 得

a ,b

.

2a b 2 0

3

（4）解

dx xy y2

dy

dx yx y2

dy

（线性）

x e

ydy

[ y2e

ydy

dy c]

1

2

x ce

2

y

y2

1

（5）解 令x y u， 1 y

dudx

dudx 1 cosu tanu2 x c

tan

(x y)

2 x c

（6）解 令tany u，则

dudx

x1 x

2

u x

（线性）

xdxx e

1 x

2

[ xe

1 x

2

dx

udx c]

1(1 x2

3

)

c x

2

由 y

1x 0

0 知，c 3

tany

113

(1 x2

).

x

2

（7）解 x siny tany

dxdy

0

3

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dxdy

xcoty cosy

x

1(sinsiny2

1

2

y c)

例6.2求解下列各题（可降价） 1）

求方程(x 1)y y ln(x 1)的通解

2yy y 2 y2

2） 求方程 的特解.

y(0) 1,y (0) 1

1）解法1 可降阶方程 令y p，则y p ，

(x 1)p p ln(1 x)

p

1(x 1)p

ln(1 x)x 1

（线性）

y (x 1 c1)ln(1 x) 2x c2

解法2 [(x 1)y ] ln1( x)

(x 1)y

ln(1 x)dx

ln1( x)d(x 1) (x 1)ln1( x) x c1

y (x 1 c1)ln(1 x) 2x c2.

2）解 令y p,

dpdy

y

dpdy

p

2yp

p y

2

2

2

pdpydy

(

py

) 1

2

令

py

u，p yu，

dpdy

u y

dudy

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2u(u y

dudydudy

) u 1

2

2yu

2

1 u

显然u 1，u 1均为原方程解，但由y(0) 1，y (0) 1知，< …… 此处隐藏：2375字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……