2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B)答案

2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B)

一、填空题（每小题4分，共32分）.

1．设 A、B 为随机事件, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, 若 P(A|B) =0.5, 则 P(A B) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P(A B) = _________.

2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P{ 1 < X < 6} = ______________.

0, x 1

0.2, 1 x 2

, 3．设随机变量 X 的分布函数为F(x)

0.7, 2 x 4 1, x 4

则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为

则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P{Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b(100, 0.2), 则 E(X) = ________, D(X) = ___________.

6．设随机变量 X ~ N(0, 1), Y ~ N(1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D(3X+2Y) =

_________.

7．设随机变量 X 的数学期望 E(X) = , 方差 D(X) = 2, 则由切比雪夫不等式有 P{|X | <2 } _________________.

8．从正态总体 N( , 2)（ 未知） 随机抽取的容量为 25的简单随机样本, 测得样本均值 5，样本的标准差s = 0.1，则未知参数 的置信度为0.95的置信区间是 ____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).

二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）

1．设随机事件A与B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0，则 ( ).

(A) P(A) 1 P(B) (B) P(AB) P(A)P(B) (C) P(A B) 1 (D) P(AB) 1

2．设随机变量 X 的概率密度为fX(x), 则随机变量Y 2X的概率密度为

fY(y)为 ( ).

y1y1y

(A) 2fX(-2y) (B) fX( ) (C) fX( ) (D) fX( )

22222

3．设随机变量 X 的概率密度为f(x)

12e

(x 2)2

4

( x )，且

Y aX b~N(0,1)，则下列各组数中应取 ( ).

(A)a

12,b 1 (B) a ,b 2 2212,b 1 (D) a ,b 2 22

(C) a

4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N( 1, 12) 和

2

N( 2, 2), 则Z X Y也服从正态分布，且 ( ).

2

(A) Z~N( 1, 12 2) (B) Z~N( 1 2, 1 2) 22(C) Z~N( 1 2, 12 2) (D) Z~N( 1 2, 12 2)

5．对任意两个相互独立的随机变量 X 和 Y, 下列选项中不成立的是 ( ). (A) D(X + Y) = D(X) + D(Y) (B) E(X + Y) = E(X) + E(Y)

(C) D(XY) = D(X)D(Y) (D) E(XY) = E(X)E(Y)

6．设 X1, X2为来自总体 N( , 1) 的一个简单随机样本, 则下列估计量中 的无偏估计量中最有效的是 ( ).

12 1 1

(A) X1 X2 (B) X1 X2

2233

33 1 2

(C) X1 X2 (D) X1 X2

4455

三、解答（本题 8 分）一个袋中共有10个球，其中黑球3个，白球7个，先从袋中先后任取一球（不放回）(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率?

ax 1,0 x 2

四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x) ，

其他 0, 求: (1) 常数 a 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F(x); (3) P{1 X 2}. 五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为

e x,0 y x,,

f(x,y)

其他 0,

求: (1) 求 X, Y 的边缘概率密度 fX(x), fY(y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y 1}.

六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为

求 E(X), D(X).

七、（本题6分）对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹

数目是一个随机变量，七期望值是2，方差是1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。其中 (1.54) 0.9382.

x -1, 0 x 1

，八、(10分) 设总体 X 的概率密度为f(x) 其中 >0 是未知

0, 其他

参数， X1, X2, …, Xn 为来自总体的一个简单随机样本，x1, x2, …, xn 为样本值, 求 的矩估计量和极大似然估计量.

参考答案： 一、填空题 1． 0.5 ；0.58

2． 3/5 3．

4． 5． 20 ；16 6． 21 7． 3/4 8． (5

0.10.1t0.025(24),5 t0.025(24)) 55

二、选择题

1. D 2. C 3. B 4. D 5. C 6. A

三、解答题

解：设A事件表示“第二次取到黑球，B1事件表示“第一次取到黑球”，B2事件表示“第一次取到白球”， (1) 第二次取到黑球的概率:

P(A) P(AB1)P(B1) P(AB2)P(B2)

2337 0.3 910910

(2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率:

23

P(AB1)P(B1) 2

P(B1A)

P(A)0.39

四、解答题 解：(1) 1 (2) F(x)

x

21f(x)dx (ax 1)dx 2a 2 a

02

f(t)dt

x x

当x 0时，F(x)

当0 x 2时，F(x) 当x 2时，F(x)

f(t)dt 0dt 0

0

x

x

x112

0dt （-t 1）dt -x x 02402x1

f(t)dt 0dt （-t 1）dt 0dt 1

022

f(t)dt

所以

F(x)

x

0,x 0

1

f(t)dt= -x2 x,0 x 2

4

1,x 2

(3) P{1 X 2} F(2) F(1) 1 ( 五、解答题 (1) fX(x)

11 1) 44

x

e-xdy xe-x,0 x

f(x,y)dy 0

0，其它

fY(y)

e-xdx e y,0 y

f(x,y)dx y

0，其它

因为 fX(x) fY(y) f(x,y)，所以X与Y不是相互独立的. (2) P{X Y 1} 六、解答题

E(X) 1 0.1 0 0.3 2 0.5 3 0.1=1.2

1

20

dy

1 y

y

edx （e

-x

1

y

e）dy 1 e 2e

y 1 1

12

（1-e）

1

22

E(X2) ( 1)2 0.1 02 0.3 22 0.5 32 0.1=3 D(X) E(X2) [E(X)]2 3 1.22=1.56 七、解答题

解：设Xi为第i轰炸命中目标的炸弹数目P{180 Xi 200}

i 1100

180 100 2 P{

.69

X

i 1

100

i

100 2

200 100 2.69

.69

1

0.4382 2

(0) ( 1.54) (0) [1 (1.54)] (1.54) 1

八、解答题

解：(1) 矩估计法

1 E(X) x x -1dx

1

1

11n

A1 Xi 所以 的矩估计量

1 n1 1i 1

(2) 最大似然法

似然函数 L xi -1 ，0 xi 1

i 1n

L xi xi -1

-1

n

i 1

i 1

nn

lnL nln （ -1） lnxi

i 1

n

dlnLdlnLnn

0 lnxi 令d d i 1

得 的最大似然估计值

n

lnx

i 1

n

i

的最大似然估计量

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