初中数学基础知识及经典例题(3)

（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,

当

4 S 6 ,求x的取值范围.

解析过程及每步分值

解：（1）∵y x2 4x (x 2)2 4 ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)

4) 548

四边形ABP3O为直角梯形时，P1( )

55612

四边形ABOP4为直角梯形时，P1(， )

55

四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(， （3）

25

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x

初中数学基础知识及经典例题

①当点P在第二象限时，x<0, △POB的面积S POB ∵△AOB的面积S AOB

1

4 ( 2x) 4x 21

4 4 8， 2

∴S S AOB S POB 4x 8(x 0) ∵4 62 S 6 82，

S 4 62∴ S 6 82

2 32

x 4x 8 4 62 2即 ∴

S 1 42 4x 8 6 82

2

∴x的取值范围是

1 422 32

x

22

②当点P在第四象限是，x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积

SPOA A S梯形PP A A S PP O

∵△AA′B的面积S AA B

4 2x1

(x 2) (2x) x 4x 4 22

1

4 2 4 2

∴S SPOA A S AA B 4x 8(x 0) ∵4 62 S 6 82，

3x S 4 62 4x 8 4 62

∴ 即 ∴ S 4 S 6 82 4x 8 6 82

∴x的取值范围是

2 2

2 2 12

32 242 1

x 22

初中数学基础知识及经典例题

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的

利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量

x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

解析过程及每步分值

解：（1）设y1=kx,由图①所示，函数y1=kx的图像过（1，2），所以2=k 1，k 2 故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax，由图12-②所示，函数y2=ax的图像过（2，2），

2

所以2 a 2，a

2

2

1 2

12

x； 2

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0 x 8），

则投入种植树木（8 x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得

111

z=2(8 x)+x2=x2 2x 16=(x 2)2 14

222

当x 2时，z的最小值是14；

因为0 x 8，所以 2 x 2 6

故利润y2关于投资量x的函数关系式是y 所以(x 2) 36

2

1

(x 2)2 18 212

所以(x 2) 14 18 14 32，即z 32，此时x 8

2

所以

初中数学基础知识及经典例题

当x 8时，z的最大值是32.

【例5】如图，已知 A( 4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB

距离为P．

解析过程及每步分值

解:（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴

AOBO4

． ADCD9

由已知A( 4,0)，B(0,4)可知： AO 4,BO 4．

初中数学基础知识及经典例题

∴AD CD 9．∴C点坐标为(5,9)． 直线BC的解析是为： 化简得： y x 4

y 4x 0

9 45 0

4 c

（2）设抛物线解析式为y ax2 bx c(a 0)，由题意得： 9 25a 5b c ，

b2 4ac 0

1 a 225

a1 1

4

解得： b1 4 b2

5 c 4

1

c2 4

∴解得抛物线解析式为y1 x2 4x 4或y2 又∵y2

124

x x 4． 255

124

x x 4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去． 255

∴满足条件的抛物线解析式为y x2 4x 4 （准确画出函数y x 4x 4图象）

（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h， 故P点应在与直线AB

平行，且相距l1和l2上． 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC

的距离也为 如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点， 在Rt△BEF

中EF h EBF ABO 45， ∴BE 6．∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0, 2) ∴两直线解析式l1:y x 10；l2:y x 2．

2

y x2 4x 4 y x2 4x 4

根据题意列出方程组： ⑴ ；⑵

y x 10 y x 2