高中数学函数解题技巧(4)

2)(1 2

t2

2t

) (2

t2

2t 1

2)(1 2

2t2

k

) 0，

整理得 2

3t2

2t k

1,因底数2>1,故:3t2

2t k 0

上式对一切t R均成立，从而判别式 4 12k 0 k

13.

4解：(Ⅰ)f(x)的定义域为R， x2

ax a 0恒成立， a2

4a 0，

0 a 4，即当0 a 4时f(x)的定义域为R．

(Ⅱ)f (x)

x(x a 2)ex

(x2

ax a)

2

，令f (x)≤0，得x(x a 2)≤0．由f (x) 0，得x 0或x 2 a，又 0 a 4，

0 a 2时，由f (x) 0得0 x 2 a；

当a 2时，f (x)≥0；当2 a 4时，由f (x) 0得2 a x 0，

即当0 a 2时，f(x)的单调减区间为(0，

2 a)； 条件得

：

当2 a 4时，f(x)的单调减区间为(2 a，0)．

5解：(Ⅰ)设y f(x)与y g(x)(x 0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．

3ax

2

∵f (x) x 2a，g (x)

，由题意f(x0) g(x0)，f (x0) g (x0)．

122

x0 2ax0 3alnx0 b，2 2

3a

即 由x0 2a 得：x0 a，或x0 3a(舍去)． 2

3ax0

x 2a ，0 x0

即有b 令h(t)

1252

a 2a 3alna

2

2

222

52

a 3alna．

22

t 3tlnt(t 0)，则h (t) 2t(1 3lnt)．于是

1

当t(1 3lnt) 0，即0 t e3时，h (t) 0；

1

当t(1 3lnt) 0，即t e3时，h (t) 0．

∞ 为减函数， 故h(t)在 0，e3 为增函数，在 e3，

3

3

∞)的最大值为h e e3． 于是h(t)在(0，

2

1

2

1

1

(Ⅱ)设F(x) f(x) g(x)

3ax

2

12

x 2ax 3alnx b(x 0)，

22

则F (x) x 2a

(x a)(x 3a)

x

(x 0)．

∞)为增函数， 故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，

∞)上的最小值是F(a) F(x0) f(x0) g(x0) 0． 于是函数F(x)在(0，

故当x 0时，有f(x) g(x)≥0，即当x 0时，f(x)≥g(x)． 6解析：(1)∵∴

2

f(x) x x 1， ,

2是方程f(x)＝0的两个根(

)

，

2

1

a an 12an 1

2

n

(2)

f'(x) 2x 1，an 1 an

5

an

an(2an 1)

1(2an 1)

52an 1

＝

14

(2an 1)

42an 1

12

，∵a1

1

，∴有基本不等式可知a2

2

0

(

当且仅当a1

2

时取等号)，∴

a2

2

同，样a3

2

， ，an

an 2an 1

2

2

(n＝1，2， )，

，

2 (3)an 1

an

(an )(an )

2an 1

(an 1 )，而 1，即 1

an 1

(an )2an 1

2

，同理an 1

(an )2an 1

，bn 1

2bn

，又b1

ln

1 1

ln

2ln

Sn 2(2 1)ln

n

2

四、 创新试题