高中数学函数解题技巧(2)

(一)函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.

(二)特殊化方法

1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等； 2、在求函数值时，可用特殊值代入；

3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.

例6、 A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数 (x)组成的集合：①对任意x [1,2]，都有

(2x) (1,2) ； ②存在常数L(0 L 1)，使得对任意的x1,x2 [1,2]，都有| (2x1) (2x2)| L|x1 x2|

(Ⅰ)设 (x)

x,x [2,4]，证明： (x) A

(Ⅱ)设 (x) A，如果存在x0 (1,2)，使得x0 (2x0)，那么这样的x0是唯一的;

(Ⅲ)设 (x) A，任取xl (1,2)，令xn 1 (2xn),n 1,2, ,证明:给定正整数k，对任意的正整数p，

L

k 1

成立不等式|xk l xk|

1 L

|x2 x1|

解：对任意x [1,2]， (2x)

(2x) (1,2)

3

2x,x [1,2]，

3 (2x)

5，1

3

3

3

5 2，所以

对任意的x1,x2 [1,2]，

| (2x1) (2x2)| |x1 x2|

2

1

2x1

2

3

1

2x1 1 x2

3

1

x2

2

，

3

3

1 2x1 2

1 2x1 1

2

x2

1

x2 ，

23

所以0＜

3

1 2x1

2

1 2x1 1 x2

1

2

x2

2

，

令

3

2

1 2x1

2

＝L，0 L 1，

1 2x11 x2

1

x2| (2x1) (2x2)| L|x1 x2|

所以 (x) A

(1,2),x0 x0 使得x0 (2x0)，x0 (2x0 )则 反证法:设存在两个x0,x0

由| (2x0) (2x0)| L|x0 x0|，得|x0 x0| L|x0 x0|，所以L 1，矛盾，故结论成立。

x3 x2 (2x2) (2x1) Lx2 x1，所以xn 1 xn L|xk p xk| xk p xk p 1 xk p 1 xk p 2 xk 1 xk

k p 2

n 1

////

x2 x1

k 1

L

1 L

|x2 x1|

k p 3

xk p xk p 1 xk p 1 xk p 2 xk 1 xk Lx2 x1 Lx2 x1＋

L

k 1

x2 x1

L

K 1

1 L

x2 x1

点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。

考点四：函数的综合应用

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

例7设函数f(x) tx 2tx t 1(x R，t 0)． (Ⅰ)求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围． (Ⅱ)若h(t) 2t m对t (0，

2

2

解：(Ⅰ) f(x) t(x t) t t 1(x R，t 0)，

当x t时，f(x)取最小值f( t) t t 1，

3

23

即h(t) t t 1．

(Ⅱ)令g(t) h(t) ( 2t m) t 3t 1 m， 由g (t) 3t 3 0得t 1，t 1(不合题意，舍去)． 当t变化时g (t)，g(t)的变化情况如下表：

2

3

3

g(t)在(0，2)内有最大值g(1) 1 m．

h(t) 2t m在(0，2)内恒成立等价于g(t) 0在(0，2)内恒成立，

即等价于1 m 0， 所以m的取值范围为m 1．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．

例8甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

① 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；

② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.

解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间， (建模)有y＝(a＋bv)

2

Sv

(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是： y＝S(

av

＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .

a

整理函数有y＝S(由函数y＝x＋

abab

kx

av

＋bv)＝S(v＋

bv

)，

(k＞0)的单调性而得：

ab

当＜c时，则v＝时，y取最小值；

当≥c时，则v＝c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当为v＝c.

ab

＜c时，行驶速度应为v＝

ab

；当

ab

≥c时，行驶速度应

点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.

方法总结与2008年高考预测 (一)方法总结

本专题主要思想方法： 1. 数形结合 2. 分类讨论 3. 函数与方程 (二)2008年高考预测

1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.

2.考查与函数图象有关的试题，要从图中(或列表中)读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对

称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.

3.考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.

4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.

5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.

6注意与导数结合考查函数的性质. 一、强化训练

（一） 选择题(12个) 1.函数y e

x 1

(x R)的反函数是( )

A．y 1 lnx(x 0) B．y 1 lnx(x 0) C …… 此处隐藏：2694字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……