淮海工学院13-14-1高等数学B2期末试卷答案与评分标准

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淮 海 工 学 院

13 – 14学年 第 一学期 高等数学

7．若级数

n

n 1

1

6 5p

发散，则p的取值范围是----------------------------------------------（D）

B（2） 期末试卷

（A）( ,1) （B）( ,1] （C）(1, ) （D）[1, ) 8．若幂级数

a(x 1)

n

n 2

在x 8处条件收敛，则其收敛半径为------------------（A）

答案及评分标准

一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．向量a

(1, 1,0)，b

(1,0, 1)所成夹角为--------------------------（C）

（A） 6 （B） 4 （C） 3 （D） 2

2．由y x2n 1(n Z

),y 0及x 1所围图形的面积为-----------------------------（B）

（A）12n 1 （B）111

2n （C）2n 1 （D）n

3．设f(2x y,x 2y) ,x

y

则f(3, 1) ----------------------------- (A)

(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4

4．f(x,y) x2y2 (y 1)tan(x2 y2

)，则fxx(x1,) -----------------------------（B）

（A）1

（B）2 （C）x （D）2x

5．二次积分

e

1

dx

lnx

f(x,y)dy的另一种积分次序为----------------------（B）

（A）

1

y

x （B） 1

e

0dy

eef(x,y)d0

dy e

yf(x,y)dx

（C） e

ey

1

dy

ee

f(x,y)dx （D） dy e

1

e

yf(x,y)dx6．

6．

(2x 1)(y7 1)d ------------------------------------------------------------

（D） x2 y2 1

（A）0 （B） （C）2 （D）

n 1

（A）9 （B）10 （C）81 （D）100

二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1. 设z f(x,y)是由 ln(5y 3z) 5x 2z 所确定的隐函数,求2zx 3zy. 解：设F(x,y,z) ln(5y 3z) 5x 2z-----------------------------------1

则F53

x 5,Fy 5y 3z,Fz 2 5y 3z

0 (3分,偏导错一个扣分)

则2zx 3z

y (2Fx 3Fy)Fz =5.---------------------------------3

2．设z

1

xf(xy,x y)，其中f(u

,v)可微，求dz(1,0). 解：z x 2f

x 1

x (yfu fv)-----------------------------------------------------------------2

zy x 1(xfu fv)----------------------------------------------------------------------------2 dz(1

,0)= [fv(0,1) f(0,1)]dx [fu(0,1) fv(0,1)]dy.-----------3

3．设D由y x,y 2x及x

2

所围成，若

Acos(2x 3y)dxdy 1，

求常数A. D

解：1

Acos(2x 3y)d 2

2x

x

cos(2x 3y)dy--------------------------3

D

dx A

13A 0

(sin4x sinx)dx A

3----------------------------------------------------2

则A 3.---------------------------------------------------------------------------------2

4．设D由y x,y x轴所围成，求

(x

2

y2

1)

1

4

dxdy.

D

解: D:0 r 4-----------------------------------------2 则原式

4

240

d

0r 1) rdr--------------------------------------2

r2

1) 14

d(r2 1) 7

8

6

.-----------------------------------------------3

三、计算题（8分）

过原点的抛物线y ax2

(a 0)及y 0，x 1所围成的平面图形绕x轴一

周的体积为V 81

x5 . 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积Vy．

解：由V 10(ax2)2dx 81

x 5

-----------------------------------------------------------2

得a 9，抛物线为：y 9x2

----------------------------------------2

则V 9y9

y 9 09 2

．----------------------------------------4

四、计算题（本题8分）

求曲面x2y2z2

4 1 9

3上点P 2, 1,3 处的切平面方程和法线方程. 解：记F x,y,z x2y241 z2

9 3，则 Fx2

x x,y,z 2，Fy x,y,z 2y，Fz x,y,z 9

z-------------------------------2

于是曲面在点P处的法线向量为n

(F 2,2x P ,Fy P ,Fz P ) (1,3

)----------2

则切平面方程为1 x 2 2 y 1 23 z 3 0，即x 2y 2

3

z 6 0，------2

法线方程为x 21 y 1z 3

2 3

.----------------------------------------2 五、计算题（８分）

将f(x) 1

x2 3x 2展开成(x 4)的幂级数，指出展开式成立的区间，

并求f(n)

( 4)，n为正整数.

解: f(x) 1121 (x 4)2 11

31 (x 4)------------------------------------------------2

(11

n 1 n 1)(x 4)n,-----------------------------------------------------------2

n 02

3因(x 4)2<1，且(x 4，则x (6, 2)

------------------------------------------2 因

f(n)( 4)n!=1111

2n 1 3n 1，则f(n)( 4)=(2n 1 3

n 1)n!.------------------------------2 第２页 共3页

六、计算题（本题8分）

设I

1x

dx 0，请先对I交换积分次序，再计算I的值.

解：I

110

dy y

---------------------------------------------------------------3

1

1120 2 y

x y2d 1 x2 y2

dy-----------------------------------------1 11

31

3 0 1 x2 y2 2 dy-------------------------------------------------------------2 y 1 1 y31

30 1 dy 4

.------------------------------------------------------------------2

七、应用题（本题8分）

“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思． 蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积45 一定，问怎样搭建才能使总造价最低？ 解：设蒙古包底圆半径为r，侧高为h，侧面的单位面积造价为k． 则45 r2

h

233

r 其造价S 2k rh 3k r2

, r 0,h 0---------------------------2

该问题为求S函数在条件45 r2

h 233

r 0下的最小值-----------1

构造函数L 2k rh 3k r2 (45 r2

h 23

r3)-----------------1

L r 2k rh 6k r 2 rh 2 r2

0 L 2

h 2k r r 0 ------------------------2

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