一个决策树算法案例分析(2)

来源：网络收集时间：2026-08-25

导读：高接受S1,P(S1|I1)=0.935 4 低接受S2,P(S2|I1)=0.065 8 百万 7 中型d2 2 支持的，I1 P(I1)=0.77 1 支持的，I2 P(I2)=0.77 3大型d3 中型d2 小型d1 大型d3 5 6 高接受S1,P(S1|I1)=0.935 14 低接受S2,P(S2|I1)=0.065 5

高接受S1,P(S1|I1)=0.935 4 低接受S2,P(S2|I1)=0.065

8 百万 7

中型d2

2 支持的，I1 P(I1)=0.77 1 支持的，I2 P(I2)=0.77 3大型d3 中型d2 小型d1 大型d3

5 6

7 8

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可算出：状态结点④的EV=0.935×8+0.065×7=7.935 状态结点⑤的EV=13.416 状态结点⑥的EV=18.118……被选 状态结点⑦的EV=0.348×8+0.652×7=7.348 状态结点⑧的EV=8.130……被选 状态结点⑨的EV=1.086  EV=1.086 故在决策结点上，应选d3方案；在决策结点上，应选d2方案。 2 3 结论是：当市场报告是支持建楼，I1时，应建大型楼；当市场报告是不支持，I2时，应建中型楼。

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效用与风险分析(Utility and Risk Analysis) §4.5 效用与风险分析 以前所述的决策分析方法是按照最好的货币期望值选择方案，但在决策分析中除了要考虑方案的货币益损因素以外，还要考虑风险程度，包括决策人对待风险的态度这一主观偏好因素。因而，往往单从货币益损期望值选择的方案，不一定是最佳方案。本节将介绍决策分析中的期望效用。 所谓效用是一种特定结果的总价值的相对尺度，它反映决策者面对诸如利润、损失和风险等因素集合的态度。 一般在一些技术较复杂、投资费用较大，开发周期较长的项目中，往往存在许多不确定因素。如前所述如果可以给出这些不确定因素的

概率分布，最常用的决策方法是采用益损期望值、其方差和效用函数来进行分析。

案例：某公司有一投资项目，有3个投资方案A、B、C,这三个方案的经济收益取决于今后两年的经济状态，经济状态估计为三种及其概率为：好(0.3); 中(0.5);差(0.2)。现估算出如下表的收益值： 投资方案 A B15

经济状态及其概率，收益(万元) 好，0.3 1800 1600 2000 中，0.5 1500 1200 1600 差，0.2 800 1000 900

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各方案的收益期望值Vi,其均方差σi和方差系数γi可按下列公式计算：Vi = ∑PjVij ,σi =j =1 n

∑Pj (Vij Vi )2j =1

式中方差系数γ,又称风险系数，因为均方差σ是收益风险的一种测度。 按上表的数据，可算得各方案的有关结果为：  VA=1450, σA=350,  VB=1280,  VC=1580, σB=223, σC=382, γA=0.2414 γB=0.1742 γC=0.2418

γ i = σi V

从这些结果看，三个方案中没有一个占绝对优势，即没有一个方案既有较大的收益期望值，同时又有较小的均方差和方差系数。因此，无法确定最佳方案，需要进一步分析。为此，可根据效用理论来权衡。 效用函数U(x)是一种相对度量尺度，0≤U(x)≤1,或者0≤U(x)≤10,其中 x对本问题而言是收益期望值。 效用函数U(x)值的确定方法较多，其中常用的一种方法是标准博奕法，即针对具体决策问题及其收益数据，由决策分析者向决策人一一提问(或决策人自问自答),由决策人一一回答其偏好，或者表明某两个事件之间是否无差异。为此，首先要从数据中选出一最大收益Vmax,设定其效用函数U(Vmax)=10,选出最小收益值Vmin,令U(Vmin)=0。16

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对本例而言，U(2000)=10,U(800)=0;然后，由决策者的偏好，一一确定其余7个收益值V的效用值(0<U<10)。 例如，取其中次大的 V13=1800 来确定其效用U(1800):首先我们设想有一个彩票，其收益为： 2000×P+800(1-P) 式中P为中彩的概率(0≤P≤1),若P接近1,可中彩约2000;P接近0,则中彩约 800。我们设定一个P值，就可算出中彩收益。然后问决策人，对设定的P值，你是偏好获取有保障的1800万元，抑或偏好中彩，或两者之间有无差异?当回答是两者无差异时，则可算出U(1800)之值为： U(1800) =P×U(2000)+(1-P)×U(800) =P×10+(1-P)×0  比如现设P=0.95,按上式得中彩收益为： 2000×0.95+800×0.05=1940 若决策人回答：此中彩收益1940万元与可靠的期望收益1800无差异，则得 U(1800)=0.95×10+0.05×0=9.5 如此，可以一一获得U(1600)=8.0,U(1500)=7.4,U(1200)=5.5, 17

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U(1000)=3.5,U(900)=2.0,U(800)=0,U(2000)=10。将这些数据，在坐标为V与U(V) 的图上，可绘成效用函数曲线如下。 U(x) U(V)109 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1.0

凸形

直线形

凹形

800 1200 1600 2000 v 效用函数曲线按决策者对待风险的态度可分为三种基本的：

(1)凸形曲线(保守型),如本例所得上列曲线，即效用值U(x)随x递减比率而增大的。 (2)凹形曲线(冒险型),即效用值U(x)随x递增比率而增大的。 (3)直线(中性型),即效用值U(x)与x成固定比例变化，如图。 如果调换另一位决策人，若他偏好冒险，则对上述问题的数据，可以确定出一根凹形效用曲线。18

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按上保守型决策人来讲，A、B、C三个方案的期望效用值可计算于下：EUi = ∑P(Si) *Uij,n j 1

EUA=0.3×9.5+0.5×7.4+0.2×0=6.55 EUB=0.3×8.0+0.5×5.5+0.2×3.5=5.85 EUC=0.3×10+0.5×8.0+0.2×2.0=7.40 可见，C方案期望效用最大，可选它为最佳方案；最差方案为B方案。

§4.6 多阶段决策的决策树问题较复杂，要进行一序列决策时采用多阶段决策. 问题较复杂，要进行一序列决策时,采用多阶段决策。

引例：某市为利用当地资源，提出了三个建厂可行方案：(1)。新建大厂。投资500万元。估计销路好，获利200万元/年;不好，亏 50万元/年 (2). 新建小厂。投资100万元。估计销路好，获利50万元/年；不好，获利10万元/年。以上两方案，经营期皆为10年。 (3). 先建小厂，三年后若销路好再扩建，追加投资400万元，经营7年，每年估计获利250万元。19

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