电路分析基础~~第四章 一阶动态电路分析

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第4章 一阶动态电路分析4.1 电容元件与电感元件

4.2 一阶电路的零输入响应 4.3 一阶电路的零状态响应4.4 一阶电路的全响应 4.5 一阶电路的三要素分析法

4.6 一阶电路的阶跃响应和冲激响应

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4-1 电容元件与电感元件4-1-1 电容元件一、电容的定义和符号一个二端元件，如果在任一时刻t,它所存储的电荷 q (t) 与其端电压u (t) 之间的关系可以用u (t)- q (t) 平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件电容的分类： 线性电容 非线性电容 时变电容 非时变电容

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i(t) C+ -

q(t)

u(t)

u(t)电容符号 线性电容u- q 特性

线性电容存储的电荷q (t)和端电压u(t)有如下关系

q(t ) Cu(t )C为与电荷、电压无关的常量，表示元件存储电荷的能力，称为电容。

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二、电容的单位电容C的单位为法拉(F),但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法(μF)或皮法(pF)

1F 10 μF6

1 F 10 6 pF

三、电容的伏安关系设电容上流过的电流与其两端的电压为关联参考方向

dq(t ) 则根据电流的定义有 i (t ) dt对线性电容又有

i(t) C+ -

q(t ) Cu(t )i (t ) C du(t ) dt

u(t)

线性电容的伏安关系为

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四、电容的特点由电容的伏安关系i (t ) C du(t ) 可知电容有如下基本性质： dt

1.电容能隔直流通交流；电容的阻抗与频率有关。 2.在有限电容电流的前提下，电容上的电压只能连续变 化，不能发生跳变。电容电压的连续性可表示为

u(t ) u(t )在动态电路分析中常用这一结论，并称之为“换路定则”。

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3.电容是一种有记忆的元件。 根据电容的伏安关系可得：

1 u (t ) C

1 i( )d ( ) C

t

1 i( )d Ct0

t

t0

i ( )d

1 t u (t 0 ) i( )d C t0任一时刻电容上的电压不仅取决于该时刻的电流值，而是取 决于从 到所有时刻的电流值，即与电流的全部历史有关， to ) 所以电容是一种“有记忆”元件。 u (称为电容的初始电压， 反映 t o 时刻之前电流的全部作用。

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五、电容的储能在电容的和为关联参考方向下，其吸收的瞬时功率为

p(t ) u (t )i(t )由功率的定义，可得在t时刻电容吸收的电能为

W (t )

t

p(t )dt

t

u (t )i(t )dt

u (t ) du (t ) C u (t ) dt C u (t )du (t ) u ( ) dtt

1 2 1 2 Cu (t ) Cu ( ) 2 2

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因为 u ( ) 0 ,故有

1 2 W (t ) Cu (t ) 2上式表明，任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关 [例4-1] 图(a)所示电容中电流 i 的波形如图(b)所示， 已知 uC (0) 0,试分别求 t 1s, t 4s 时电容上的电压。+

iC2F

10 0 -10

iC/At/s

uC(a)

1

2

3

4

5

(b

)

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解： 由

iC的波形可写出其数学表达式为 (t )

5tA iC (t ) 10 A

0 t 2s t 2s

10 0 -10

iC/At/s

1

2

3

4

5

1 因为 u C (t ) u C (0) C

t

0

iC (t )dt

(b)

1 1 所以 u C (1) u C (0) 0 iC (t )dt C 1 1 0 0 5tdt 2 1.25V

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1 4 u C (4) u C (0) iC (t )dt C 0 1 2 1 4 5tdt ( 10)dt 2 0 2 2 5V

10 0 -10

iC/At/s

1

2

3

4

5

(b)

[例4-2] 电路如图(a)所示，开关打开前电路已处于稳态， 在 t 0 时刻将开关K打开，求电容的初始值 u C (0 )。t=0 2Ω + iS(t) 10V 4Ω 0.5F 4Ω K

(a)

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0 解：因为在 t 时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路。 这时其等效电路如图(b)所示。t=0 2Ω + iS(t) 10V 4Ω 0.5F 4Ω K2Ω + 10V + 4Ω

uC-

4Ω

(a)

(b)

根据图(b)可算出

4 // 4 u C (0 ) 10 5V 2 4 // 4 又根据换路定则，可得

uC (0 ) uC (0 ) 5V

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4-1-2 电感元件 一、电感的定义一个二端元件，如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链 (t ) 与其流过的电流 i (t )的关系可以用 (t ) i (t )平面上的一条 曲线来确定，则称此二端元件为电感 。

二、电感的符号和单位i(t) +

Ψ

L u(t)i

电感的符号

非时变线性电感

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对非时变线性电感有

(t ) Li (t )

Ψ

L是与 、i 无关的常量，表示元件产生磁链的能力，称为该元件的电感量。电感的单位：亨利(H)非时变线性电感i

三、电感的伏安关系

在电感上电压、电流为关联参考方向时，由电磁感应定律 可得 d (t ) L u (t ) i(t)

dt

+

di (t ) u (t ) L dt

u(t)

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