合肥工业大学双控考研培训资料 现代控制部分-3

第3 控制系统章的能控和性观测性能在多量变制控统系，中能控性和观测性能是个两映控反制统系 造的基本特构性，是代控现理制论最中要重的本概念基。 章的本容为内 ：1.2 .. 3. 引言—4—能控、能观性测性的本基念概能 控性及其据判 观测能性及判其据离 系统散的能性控和观测能性.5

对原偶理

.6 . 8. 7. 19.0能控标形准能观测标和形准能 性控能观测、性传递与函数的系 系统的结关分构 解实问题现使 用AMLATB断系统判的能控性和能测观性

.13引言

先首，过例通子绍介控性、能观测能的性基本念。概

3例- 1电如路下图所。如果示取选容电两的电压 u端 C状为变态，量 (ut x) 。C 电桥衡平，时不输入论电压如何 改变， 即：ux (t) u 不随C 着(t u)的变 而改变化或者说状，变态不受量 (ut) 的控 制即。:该路的状态是电不能的控 显。然当电桥不平，衡， 该电路的状态时能控是。的

例3- 2电路下如所示图如果，择电容选C、1C 2两的电端压为状 x态 量变，即：1 uC1 , x2 u C 2电路的输出 ， yC为上的电2, 压 即y x ,2电则的系统路方为程 2 11 Ax b u x x u 1 2 1

y C x 1 0x

系状统转态矩移阵为0 果如初始态为状 x 0() 0

1e t e 3t e At 3tt 2 e e

t e e 3t e t e 3 t 系状统态方程解为的 1 t (t τ x()t) eu (τ ) τd 1 0 可，不见论入什加样么 输入的号，信是总有 1 x2x

一

情般下，况系统方可以程表为示 x Ax Bu y C x

1()状能控与否，不态仅取决于 阵(B接关系)直还，取决于A阵(间 关系)接 系统能观。问题是研究测测输量出变量y 去确 状态定量变的题。问y 3例3-电路 如下所示。选图取u ( )为t输量入 ，(t)为输出 量两，个 电上的感流分电别作状态为变量，则统方程系为-2 1 1 Ax B u x x 0 u 12- y Cx 1 1 x

系统态转状移阵为矩1 e t e 3 e At t t 3t2 e eA t

te t e3 t e t et 3

系统状态 方程解的x(t ) 为e (0x ) e A(t ) τbu( t τ )d τ0

为了便起简见令， ut ( ) 0则

x( ) t e t Ax(0)y(t ) Ce At (0) [x 1x 0) x( (20)e] 3t从上式知可不论初，状态为始什数值么，出输仅 取仅于决其 值差[ 1x 0)( x2 ()0 ]当 x。 10() x2 (0 ),则输 出恒于零。等显，然无法过通对 输的出观测去定初始状确态，这样称的系统是不能观的。测一般情 况，系下统程如方(式)所示1,态能观测与否，状不仅取 决C 阵(直接于系)关，取决于A阵还间(接关)系。

对不于能观的测系统，其能观测不状态分量的y与 既无接直系， 又关无接关系。状间是否态观测能仅取决于不C还与， 有关。A

.23. 能控性定义1

控性及其能据判

.3.1 线性2常系定的统能性及其控据判线定常系统的状性方程为 态 xx Au

B2)(

给系统一个定初状态始 x t0() ,如果 在t 10 t有限时的区间间[t0, 1t] 内，存 容在控许 制ut() ,使 x ( t1) 0 则称系，统态在 t状 0 刻是时 能控的；如果系对统任意一初始个状态能控，则都系统称是状态 全完控的能。说明 ：)1初 状始 是态状空间态中的意非零有任限点，控的制标目 状态空间的是坐原点标(如。控果目制不标坐标是原，点可以过通 标平坐移，其使新的坐在系下标坐标原点。)

是2

如)在果有限间区间时[t0 , t1] 内， 存容在控许制u( t), 使统 系 x从状空间坐标态原点推预先指向的定态状(t ) 1,称系则是统态 能状达；由于的续系统的状态连转移阵矩是奇非异的，此系因统的 控性能和能性达是等的价。3)只整有个状态空间中所的有限点有是能都的控，统才是系能 控。 4)满的足3()式的始状初，必是能控状态态。x(0 e )Aτ B uτ ( ) dτ

0t1

(3)

5当系)中存在统依不赖 于(u t)的确定 干扰性 (t ) 时f,f(t ) 不会 变系统的能改控性。 x A Bx f (u t (4))

2

.能控 判据性

定3理- (12)的线式性定系统常为态状控能充的必要分条件是下 面n×的维格n拉矩姆阵秩满WC( , t01 )t10

e τ

BA eB

T AT

dτ

τ(5)(证明见教材84页参)

(个定理这为能控性的一般判据但是，。于要计算状态转移由矩， 比较阵琐。实繁际上，常用下面绍的介判据。)

定

3-2理 ()2的线性定常系统式为状态能的控分充必条要件下是面的n ×n r维控性能矩满阵秩。QC B [ABA2 B A n 1]B(6)

7()

rnaQkC n 证明

应用凯-哈理定，有e A τ a 0 τ )( I 1 ( τ a)A a n 1 τ ( )n-A1 a i (τ )iA上式代入(3式)

n1i 0 x(0) A B a ( τi )( τ u ) dτ ti 1 i 00

n1 (8)

βi 1β t1 a i( τu) τ ()d τ i 2 i 0 irβ ( i 0 1,,, n 1)

于是x 0) ( [ B β 0 β BA A-n B1 ] 1 β n1 (9

)如系果能控统必能够，(从9)式中得 样解要就求 0 , 1, … , n 。这1 rankQC arnkB [A A2 BB An 1 B] n(判本据本身简单，很因是最为常用此的方法。)

理定-3 (PB3判H别) 法()式的线2性定系统常状为能态控

的充分要条件必，是对 A的有特所值 λi征都有,rnka λ[iI A B ] n (i 12,, ,) n(明证)略理3-定 (24)式线性定的常统的矩系 阵A的 征特

(值01)(i 1, 2,, n) 系将经过非统异线性奇换变换变对成角阵λi 互异

0, λ1 λ 2x Bu 1() 1 x 0 λn 系统能控则的充必分要件条是阵 B矩 不中包元素含为全的行零

(可。以应定理3用2-证明详，教材87页见)

3例6 有如-两下线性个定常系，统断其判控性能0 。 7 2 x 0 u( 1 x ) 5 0 9 1 0 7 0 1 ()2 x 4 0 u x 5 0 7 5 1

解据根定3-4理 系统(1) ,不控能； 系(2)能统。

定理3控5(2)式-的线性定系常的矩统阵 A 有具重特值，λ1征λ、 2、l λ3、… 、kλ分 为别 1l 重、 2、重 3重 …、、l 重k 。l且

li 1

ki

, i n λj, i ( j) 经过奇异非线变换，性得约到当 阵

λJ 1 x 0 J2

0 xBu Jk λi Ji 0

1λi0 1 λ i (1)2

系统能控的充分必要条件是则阵 矩 中B每一与约个当子块最面下 行对一应的行素元不全为。零

例3

- 7如有下个线两性常系统定判，断能控性其。0 4 10 1( )x 0 4 0 x 4 u 0 3 0 2 0 4 1 4 22)( x 0 40 x 00u 3 00 0 2 解

据定根理3-5, 系统1)(能 控；系 (统2不能控)

定理(3-()4、定理3(5-不)可以仅判系统能控性，而断且 于不能控的系对，统可知道哪个以态分量状不能控。) 明：1说.上通过几个定理给面出判断统能系性的控据。判然它虽们 的达形表、式方不法，同是，在判断线性定但常系统控能性是时 价等的。.2线在性续定连常系统中，于由能达性和能性控等价的，是因，此 能性控据判样同可以判断能达性。