甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文(2)

三、解答题。

17.计算：

（1）

（2）

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则直接计算（1）（2）即可．

【详解】（1） .

（2）===.

【点睛】本题考查了复数的混合运算，属于基础题．

18.某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入(元)之间有如下的对应数据:

外卖份数

（元）

(1)画出散点图;

(2)求回归直线方程;

(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.

注:①参考方式:线性回归方程系数公式;②参考数

据:.

【答案】（1）见解析（2）；（3）95.5元．

【解析】

试题分析：(1)根据表中数据,作出散点图即可;

(2)计算、,求出回归系数,写出回归直线方程;

(3)由回归直线方程,计算x=12时的值即可.

试题解析：（1）作出散点图如下图所示：

（2），

，

已知，．

由公式，，可求得，，

因此回归直线方程为；

（3）时，．

即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元．

19.年月日,第届冬奥会在韩国平昌举行.年后,第届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:

（1）根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?

（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取人,参加年北京冬奥会志愿者宣传活动.

①问男、女学生各选取多少人?

②若从这人中随机选取人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的

概率.

附:,其中.

【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，

【解析】

分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.

详解：(Ⅰ)因为，

所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.

(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，

男生人，女生人，

所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.

(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，

其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，

所以，所求概率.

点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.

独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式

计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.

（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），此时.

【解析】

试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直

角坐标为

到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

考点：坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．

21.已知函数且.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．

【解析】

【分析】

（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．再利用f′（﹣1）=0，即可解得a．

（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣．x∈[﹣2，2]．令f′（x）=0，解得x=﹣1，．利用导数研究函数的单调性比较极值与区间端点处的函数值，即可得出最值．

【详解】（1）由题可得，，解得．

（2）由（1）知，．当时，．求导，得．

令，得，或

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以的极大值为，极小值为，

又，所以在上的最大值为，最小值为．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性单调性，极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

22.已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点．

【答案】（I ）；（II）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（I ）由题意可知从而可得椭圆的方程；（II）由（I ）知联立动直线和椭圆方程可得：再利用向量数量积的坐标公式及韦达定理通过计算证明结论．

试题解析：（I ）解：由题意可知椭圆的方程为4分

（II）证明：由（I）知联立动直线和椭圆方程可得：

由得且又

故结论成立．13分

考点：1．椭圆的方程及其简单几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．解析几何定点问题．