初中数学竞赛定理大全(2)

a=b+c-2bc·Cos A b=a+c-2ac·Cos B c=a+b-2ab·Cos C Cos C= (a+b-c)/2ab Cos B= (a+c-b)/2ac

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

Cos A= (c^2+b^2-a^2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、 两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB (x2 x1)2 (y2 y1)2

2、 平行线间距离：若l1:Ax By C1 0, 则：d

l2:Ax By C2 0

C1 C2A B

2

2

注意点：x，y对应项系数应相等。

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3、 点到直线的距离：P(x ,y ),l:Ax By C 0

则P到l的距离为：d

Ax By CA B

2

2

y kx b

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F(x,y) 0

消y：ax2 bx c 0，务必注意 0.

若l与曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)

则：AB (1 k2)(x2 x1)2

5、 若A(x1,y1),B(x2,y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 ，

x1 x2x1 x2

x x 1 2

=1时，则 ，特别地：P为AB中点且

y yy y22 y 1 y 1

1 2 变形后：

6、 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为 , (0, )

适用范围：k1，k2都存在且k1k2 －1 ， ta n

k2 k1

1 k1k2

x x1y y1

或

x2 xy2 y

若l1与l2的夹角为 ，则tan

k1 k2

， (0,]

1 k1k22

注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围(0, ) l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。

（2）l1 l2时，夹角、到角=。

2

（3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

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7、 （1）倾斜角 ， (0, )； （2）a,b夹角 ， [0， ]；

（3）直线l与平面 的夹角 ， [0]；

2

（4）l1与l2的夹角为 ， [0]，其中l1//l2时夹角 =0；

2

（5）二面角 , (0, ]； （6）l1到l2的角 ， (0， )

8、 直线的倾斜角 与斜率k的关系

a) 每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为 ，则k=tan 。

9、 直线l1与直线l2的的平行与垂直

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（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2

②l1 l2 k1k2=－1 （2）若l1:A1x B1y C1 0, 若A1、A2、B1、B2都不为零

① l1//l2 A1 B1 C1；

A2B2C2② l1 l2 A1A2+B1B2=0； ③ l1与l2相交 A1 B1

A2B2

④ l1与l2重合 A1 B1 C1；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与 0的情况。

10、 直线方程的五种形式

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在 点斜式： y y k(x x ) （1）斜率不存在：x x （2）斜率存在时为

y y k(x x )

l2:A2x B2y C2 0

两点式： 截距式：

y y1x x1

y2 y1x2 x1

xy

1 其中l交x轴于(a,0)，交yab

轴于(0,b)当直线l在坐标轴上，

截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=a 0 设

xy 1 aa

即x+y=a 一般式： Ax By C 0 （其中A、B不同时为零）

11、直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种

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若d

Aa Bb CA B

2

2

，d r 相离 0

d r 相切 0 d r 相交 0

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆

定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1 PF2 2a F1F2 （a为常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆。

x2y2

标准方程：2 2 1

ab(a b 0)

定义域：{x a x a}值域：{x b y b} 长轴长=2a，短轴

长=2b 焦距：2c

a2

准线方程：x

c

焦半径

，

a2

PF2 e( x)

c

：

a2

PF1 e(x )

c

，

PF1 2a PF2

，

（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定a c PF1 a c等

义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：A1F1 A2F2 a c，A1F2 A2F1 a c B1F1 B1F2 B2F2 B2F1 a ，A2B2 A1B2 a2 b2等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。

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