初中数学竞赛定理大全

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欧拉（Euler）线：

同一三角形的

垂心、 重心、 外心三点共线，这条直线称为三角

形的 欧拉线；

且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

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费尔马点：

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小， 这个点P称为△ABC的

海伦（Heron）公式：

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塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。

密格尔（Miquel）点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点

，这个点称为密格尔点。

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葛尔刚（Gergonne）点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（Simson）线：

已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，

则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

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黄金分割：

把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（Pappus）定理：

已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上， 且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2 B3于A3 B2交于

点Z，则X、Y、Z三点共线。

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笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O， BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；

摩莱（Morley）三角形：

在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形， 这个正三角形称为摩莱三角形。

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帕斯卡（Paskal）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD （任意四边形都可！哇哈哈）

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斯图尔特（Stewart）定理：

设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则 m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2 )＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)

梅内劳斯定理：在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线 截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝

1

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