第二章导数与微分习题册答案(3)

EREQ

PdQ

1 QdP QPQ

d(PQ)dQ

1d(PQ)P

dQ

1 dP

P Q P dQ

E(PQ)EQ

1 1

P dQ QdP 1 1

1 ，故

（2）由（1）知

EREP

EREP

PdRPdR 1 RdPPQdP

得

dRdP

Q(1 ) f(P)(1 )

又由（1）

EREQEREQdR

1

1

，故

Q

RdQ

dR

Q

PQdQ

dR

1

1

得

1 P 1 dQ

7、（1）R(P) PQ(P)，两边同时对P求导得

dRdP Q(P) P

dQ

Q PdQ 1 Q(1 P) dP

QdP （2）EREP

0.54

P 6

经济意义：当P 6时，若价格上涨1%，则总收益增加0.54%

第二章综合练习题（一）答案

1、填空题

（1）1 （2）4 （3）充分必要 （4）y 14

x 1

（5）y (

11x

x 1

1x 211

)x(x 1) (x 211)

（6） f (cos2

x)sin2x 2xsecx2

（7） 1 （8）(ln10)n

（9）3 （10）

36

2、选择题

（1）C （2）C （3）C （4）C （5）A （6）C （8）B （9）B （10）A 3、计算题

（1） lim

[a ln(1 x)] limbx 2 2 所以a 2

x 0

x 0

又因为 lim

2 ln(1 x) 2

2 2

x 0

x

1 limbxx 0

x

b 所以b 1x

1

（2）lim1 ex

lim

1

x 0

x

x 0

1

0

1 ex

x

1

limx

lim1

1

x 0x

x 0 1

1 ex

函数在0点的导数不存在

x

f(0 x) f(0)

sin

1（3）f (0) 0

x

x

lim

x lim

x 0

x

lim x 1

sin1 x

1

x 0

7）B （

所以 1时f (0) 0 （4）y aaxa

ax

a

a 1

a

a

1

a

a

x

a

lna ax

lnax2

a 1

a 1

a

x

a

x

lna a lna

2

x

a

x 1`

a

a x

lna

2

3

f (x) 2 1 2(1 x)

（5） f(x)

1 x1 x

1 x

1 f (x) 2 1(1 x)

4

f (x) 2 1 2 3(1 x) … f

(n)

(x) 2 ( 1)n (1 x)

n (n 1)

（6）lny cosxlnsinx

1y

cosxsinxdydx

222

y sinxlnsinx y ( sinxlnsinx

cosxsinx

2

)(sinx)

cosx

（7）

dydx

y

cost1 sint

x

1(1 sint)

2

（8）e y e 0 y e

x y

（9

）y e4、应用题

e

dy

dx

（1）limxsin

x 0

2

1x

0 f(0) 所以在0点连续

xsinlim

x 0

2

1

x

x 0p

0

0 所以在0点可导

（2） p Q Q

12pp2

pp 24

12

p p 6 0.33 当p上涨1%，产品需求量将减少0.33% 五、证明：因为函数f(x)在a可导，所以lim

lim

xf(x) af(a)

x a

lim

f(x) f(a)

f (a)，于是

x a

[xf(x) xf(a)] [xf(a) af(a)]

x a

x ax a

x a

x a

lim

(x a)f(a)

x a

x a

lim

x[f(x) f(a)]

x a

af (a) f(a)

第二章综合练习题（二）答案

1、填空题

（1） 12 （2）e2t(1 2t) （3）b 4a （4） 2 （5）2 （6） 1

n 1

n

n 1

ax2

6

(n 1) (1 x) （7）ae （8

（9）0.9833 （10） 1.5 2、选择题

（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）D （8）D （9）A （10）A

3、计算题 右导数lim

x c

ax b cx c

2

2

2c

x c

lim

ax b cx c

lim

x c

x cx c

2

22

2c（*） ∴ac b c 0 ∴b c ac代入（*）式

22

得到a 2c ∴b c

e

xx

2

（2

）y

1 (e)

xe 1

=2x

1 e

ye 2y(x e)

(x e)

y

3

2

y

y

（3）y

yx e

y

y y (0) e

2

(4) limf cos

x 0

a

=2 (

12

x

)= 1

（5）y a x e

x

xaxlnx

a y alna ax

a 2

x

a 1

e

xlnx

(lnx 1)

y a(lna) a(a 1)x（6）

dydx

seca[tan 11 x

2

2

x(lnx 1) x

2x 1

acostt

t sint]t221x 1

tant

（7）y ， y

1(x 1)

2

， y

2(x 1)

3

y

(4)

2 3(x 1)

4

……

y

(n)

( 1)

n 1

(n 1) (x 1)

xlnx

n

（8）因为y 1 e

x

x

x

而 exlnx exlnx (lnx 1) xx(lnx 1)

x

x

x

e

xlnx

x

e

xlnx

x

1 x x

x lnx x

x

xx 1

xx xlnx 1lnx x

x

x x

xx

x

1 2

lnx lnx x

x

x

x

所以 y 1 x

2

x

lnx 1

x x

1 2

lnx lnx x

4、（1）limx 0 f(0) 函数在x 0处连续

x 0

lim3 2x limx 1 f(1) 函数在x 1处连续

x 1

2

x 1

2

limx 1 limx 1 函数在x 1处不连续

x 1

x 1

lim

x

2

x 0

x

0 函数在0点可导

x 1

lim

3 2x 1x 1x 1x 1

2 lim

x 1

2

x 1x 1

2

2 函数在1点不可导

x 1

lim lim

x 1

x 1x 1

2 函数在 1点不可导

（2） P

PdQQdP

bP

bPa bP

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