第二章导数与微分习题册答案(2)

y''

( 1)2 2

2x 3

2

2x 3

3

y'''

( 2x 3

4

nn

y

(n)

( 1)2 n!

2x 3

n 1

n

n

所以y

(n)

(0)

( 1)n2n

n!

( 1) 2

3

n 1

3 3 n!

（3）解：

dy'(x)d2

y''(x)f(x) f'(x)

2

dx

ff(x)

dx2

f f(x)

2

（4）y

1

11x2

5x 6

x 3

x 2

(n)

y

(n)

1

(n)

1

n

n!

x 3

x 2

1

1

n

n!

x 3

n 1

x 2

n 1

n

1

n! 11 1

x 3 n x 2 n 1

（5）y sin6x cos6

(x) 1 cos2x3

3

1 cos2x 2 2

所以

1 3cos2x 3cos2x cos2x 1 3cos2x 3cos2x cos2x

8

2

2323

2 6cos2x

8 38

n

2 6

n 2

x

cos4x 1

8

5 3cos4x

8

58 3cos4x

8

所以y

(n)

4cos(4x )

2

（6）解：令u x，v e

u' 2x，u'' 2，u''' 0，v

(n)

(k)

e

x

y

C x

kn

2

k 0

3

(k)

v

(n k)

xe 2nxe

2xx

n(n 1)2

2

2e

x

（7）解：令u x，v ln(1 x) u' 2x，u'' 2，u''' 0，v

(k)

k 1

( 1)

(k 1)!(1 x)

k

f

(n)

(uv)

(n)

Cnu

0(n)

v Cnu

1(n 1)

v' Cnu

2(n 2)

v'' Cnuv

n 3

n(n)

( 1)

n 1

x

2

(n 1)!(1 x)

n 3

n

( 1)

n 2

2nx

(n 2)!(1 x)

n 1

( 1) 2

n(n 1)(n 3)!2

(1 x)

n 2

f

(n)

(0) ( 1)n(n 1)(n 3)!

2

5、解：因为f'(cosx) cos2x 2cosx 1

所以f'(x) 2x 1

f (x) 2

6、证明：y' C1wsinwx C2wcoswx

y'' C1wcoswx C2wsinwx w(C1coswx C2wsinwx) wy

2

2

2

2

2

所以y'' wy 0

7、证明：y' esinx ecosx，y'' esinx ecosx ecosx esinx 2ecosx

x

x

x

x

x

x

x

2

y'' 2y' 2y 2ecosx 2 esinx ecosx 2esinx 0

x

x

x

x

第四节 隐函数与参数方程求导法则

1.填空题

（1）1 （2）

cost1 sint

y ee

x y

x y

2.(1) y xy e

x y

1 y y

x

(2) 3x 3yy ay 3axy 0 y

22

ay x

2

2

y ax

（3）y xy ey

y

1x

1y

y y

y

y

x e

1y

（4）

12

x

12

12

y

12

y

0 y

2

xy

3、e(y xy )

xy

1y

y

1x 1

0 y

y y(x 1)e x 1 xye

2

xy

1)

y (0)

e 1e

2

4、6x 6yy 9(y xy ) 0 y

45

65

22

9y 6x

2

6y 9x

y (1,2)

54x

4

45

切线方程：y x 法线方程：y

bxay

22

134

2

2

2

2

5、（1）2bx a2yy 0 y

22

y

bx aby

aye

2y

4

3

（2）y e xey y

yy

e

y

y

1 xe

y

(2 xe)

y

3

y

(1 xe)

6、（1）lny

1n

ln

x(x 1)(x

2)

2

2

y

sinx

（2）lny sinxlnx y x7、（1）

dydx

1t

y

(lnxcosx

sinxx

)

dydt

ecost1 esint

yy

（2）y (ey sint ecost) 0

dydy

ecost

y

y

y

yecost y

dxdx2t 22(t 1)(1 esint)

dt

1d

2

8

、

dydx

1 t

1t

dydx

2

2

() dtdx

dxdxdx

dt

ddy

(

dy

)

1t

t

2

2

1 tt

3

2

1 t

9、f (0) lim

x 0

ln(1 x)

x

lim

x 0

ax bx c

x

2

1

∴c 0,b 1

1 2ax b,x 0

1

2ax 1 1

∴f (x) f (0) lim 1 x lim 1

x 0x 0xx 1

,x 0 1 x

∴a

12

第五节 函数的微分

1、填空题

（1）（2）0 （3

）dy 0.11 (3x 1)dx

12

12

2

（4）dx

coswxw

（5） e

2x

（6

）（7）sec2x （8） 2sin2xf (cos2x)

2、选择题

（1）B （2）C （3）A （4）D

3、（1）y e x[sin(3 x) cos(3 x)] dy e x[sin(3 x) cos(3 x)]dx （2）y 2ln(1 x)[ln(1 x)]

lnxx

2ln(1 x)x 1

2

dy

3

2ln(1 x)x 1

2

dx

3

（3）y

1x(lnx)

2

(lnx) (lnx) x

x(lnx)

2

2

dy

(lnx) (lnx) x

x(lnx)

2

2

dx

（4）y ex(sin2x sin2x) dy ex(sin2x sin2x)dx （5）y tanx xsec2x dy (tanx xsec2x)dx （6）y

dy

1lnlnx

1

(lnlnx)

dx

1

1

(lnx)

1xlnxlnlnx

lnlnxlnx

xlnxlnlnx

（7） sin(x y)(1 y ) eyy 0 y

2x

sin(x y)e sin(x y)

y

dy

sin(x y)e sin(x y)

y

dx

4、y 3xcosx xsinx

23

dy x 1 (2 3cos1 sin1)dx

5、dy [f (sinx)cosx f (x)cosf(x)]dx 6、e

ylnx

e

xlny

sinx

2

e

ylnx

(y lnx y

1x

) e…… 此处隐藏：1857字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……