线性代数课后答案(高等教育出版社)(2)

证明 由A2 A 2E O得 A2 A 2E 即A(A E) 2E

1

A (A E) E2或

A 1

由定理2推论知A可逆 且 由A2 A 2E O得

A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E

1

(A E)2

1

(A 2E) (3E A) E

4或

(A 2E) 1

由定理2推论知(A 2E)可逆 且

1

(3E A)4

证明 由A2 A 2E O得A2 A 2E 两端同时取行列式得 |A2 A| 2 即 |A||A E| 2 故 |A| 0

所以A可逆 而A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故A 2E也可逆 由 A2 A 2E O A(A E) 2E

A 1

A 1A(A E) 2A 1E

1

(A E)2

又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E

所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1

(A 2E) 1

1

(3E A)4

矩阵的初等变换与线性方程组

1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

102 1 2031 304 3

(1)

102 1

2031 304 3

(下一步 r2 ( 2)r1 r3 ( 3)r1 ) 解

102 1 00 13 00 20

(下一步 r2 ( 1) r3 ( 2) ) ~

102 1

001 3 0010

(下一步 r3 r2 ) ~

102 1

001 3 0003

(下一步 r3 3 ) ~

102 1

001 3 0001

(下一步 r2 3r3 ) ~

102 1

0010 0001

(下一步 r1 ( 2)r2 r1 r3 ) ~

1000

0010 0001

~

1

3 2 3 (3)

1 3 2 33534

43 41 20 2 1 3534

43 41 20 2 1 (下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 )

1

3 2 3

解

1 3 2 3

3 1 13 4

00 48 8 00 36 6 00 510 10

(下一步 r2 ( 4) r3 ( 3) r4 ( 5) ) ~

1 1 00 00 00

~ 1 1 00 00 00

~

3111 4 2 2 2

3 2 2 2 (下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 )

02 3 1 22 000 000

3. 已知两个线性变换

x 2y1 y3 1

x2 2y1 3y2 2y3 x 4y1 y2 5y3

3

解 由已知

y 3z1 z2 1

y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

x1 201 y1 201 310 z1

x 232 y 232 201 z x2 415 2 415 0 13 2

y2 z3 3

613 z1

12 49 z2 10 116

z3

x 6z1 z2 3z3 1

x2 12z1 4z2 9z3 x 10z1 z2 16z3

所以有 3

4. 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

321 315 323

(1)

321100 321100 315010 0 14 110 323001 002 101

~ 解

3203/20 1/2 3007/22 9/2

0 1011 2 0 1011 2 002 10 001 1/201/2 1 ~ ~

1007/62/3 3/2 010 1 12 001 1/2 01/2 ~

72 3 632 1 12 11 202

故逆矩阵为

3 20 1

0221 1 2 3 2 0121

(2)

3 20 110

022101

1 2 3 200 012100

解

0010

0 0 0 1

1 2 3 2001 0121000

049510 3

0221010

~

0 1 0 0

1 2 3 20010 01210001 001110 3 4 00 2 1010 2 ~

1 2 3 20010 01210001 001110 3 4 000121 6 10 ~

1 200 1 1 2 2 010001`0 1 0010 1 136 000121 6 10 ~

1 0 0 0

~

01000010

011 2 4 0010 1

0 1 136

121 6 10

11 2 4 010 1 1 136 21 6 10

故逆矩阵为

1 02

A 2 13 123

33 4 B 2 31

求X使XA B 5. (2)设

解 考虑ATXT BT 因为

02 312 r 1002 4

(A, B) 2 132 3 ~ 010 17

13 431 001 14

T

T

2 4

X (A)B 17

14 所以

T

T

1

T

2 1 1

X BA 1

474 从而

9. 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

1000 1 100 1010 0001

0000

0 0 0 0 0

此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

1 23k A 12k 3

k 23 问k为何值 可使 12. 设

(1)R(A) 1 (2)R(A) 2 (3)R(A) 3

k 1 23k r 1 1

A 12k 3 ~ 0k 1k 1

k 23 00 (k 1)(k 2) 解

(1)当k 1时 R(A) 1 (2)当k 2且k 1时 R(A) 2

(3)当k 1且k 2时 R(A) 3 P106/

1.已知向量组

A a1 (0 1 2 3)T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示

0 1

(A, B)

2 3 证明 由 1 0~ 0 0

r

3

0122301

204 1 24 111 213 1

r ~ 0

0 0

031 24 32204 1 6 15 7 2 8 17 9 031 24 1 6 15 7 041 35 00000

031 24

1 6 15 7 0205 1525 041 35 1

0~ 0 0

r

知R(A) R(A B) 3 所以B组能由A组线性表示 由

204 102 1 1 24 r 0 22 r 0B ~~111 01 1 0

213 01 1 0

4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T

02

1 1 00 00

知R(B) 2 因为R(B) R(B A) 所以A组不能由B组线性表示

(2) (2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121 r 121 r 121 A 314 ~ 077 ~ 011

101 022 000

所以R(A) 2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为

2 10

|B| 340 22 0

002

所以R(B) 3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关

5 问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1 (a 1 1)T a2 (1 a 1)T a3 (1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由

a11

|A| 1a 1 a(a 1)(a 1)

1 1a

知 当a 1、0、1时 R(A) 3 此时向量组线性相关

9.设b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得

a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1 于是 a1 b1 b2 a3

b1 b2 b3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 从而 b1 b2 b3 b4 0

这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组

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