线性代数课后答案(高等教育出版社)

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)

2011 4 1 183

解

2011 4 1 183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4

(3)

111abca2b2c2

解

111abca2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

4 计算下列各行列式

(1)

410125120211251

42072021

解

4104c2 c34 12 120c 7c3

300742 10

4 1 1002

2 ( 1)4 32 14 12

3 1410

4 110c2 c39910

12 2 00 2 0314c1 1c171423

(2)

23151 12042361122

23 解

1 12042361c4 c21 22

4230

23151 12042360r r

42

2 022321 12142340200

r4 r121 3 1

20002 000

(3)

abacaebd cddebfcf ef

解

abacae bcebd cdde adfb ce

bc ebfcf ef 111

adfbce1 11 4abcdef

11 1

(4)

a 1001b 1001c 1001d

解

a 1001b 1001c 10r ar120 1d01 aba0 1b100 1c100 1d

aba0c3 dc2 abaad

2 1

( 1)( 1) 1c1 1c1 cd

0 1d0 10

6. 证明:

( 1)( 1)3 2 abad 11 cd

abcd ab cd ad 1

(1)

a2abb22aa b2b111

(a b)3;

证明

a22a1

abb2c2 c1a2ab a2b2 a2a b2b 2ab a2b 2a11c3 c1100

3 1

( 1)

ab a2

b ab2 a2

(b a)(b a)ab a

122b 2a

(a b)3

(2)

ax byay bzaz bxxyz

ay bzaz bxax by (a3 b3)yzxaz bxax byay bzzxy

;

证明

ax byay bzaz bxay bzaz bxax byaz bxax byay bz

xay bzaz bxyay bzaz bx ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz (a3 b3)yzx

zxya

1a

8. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

Dn

(1) 解

1

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0

a000a000aDn

0001000an 1

( 1)0

0

00a 0

01 00 00 a0 0a

000 a

(按第n行展开)

000 0

10a0

( 1)2n a

a(n 1) (n 1)0(n 1) (n 1)

a

( 1)n 1 ( 1)n

an

a(n 2)(n 2)

an an 2 an 2(a2 1)

xDn a

a (2)

a

x a

aa x;

a 0 0 0x a

解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得

再将各列都加到第一列上 得

xaaa xx a0Dn a x0x a

a x00

x (n 1)aaa

0x a0

Dn 00x a

000 a

0 0 0x a

[x (n 1)a](x a)n

第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积

(x1x2

(5)

解

a11a12a13 x1 x3) a12a22a23 x2 aaa 132333 x3

(x1x2

a11a12a13 x1 x3) a12a22a23 x2 aaa 132333 x3

x1

x 2 x

(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3) 3

222

ax ax ax 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3 111222333

111 123 A 11 1 B 1 24

1 11 051 求3AB 2A及ATB 2. 设

111 123 111 3AB 2A 3 11 1 1 24 2 11 1

1 11 051 1 11 解

058 111 21322

3 0 56 2 11 1 2 1720 290 1 11 429 2

111 123 058 ATB 11 1 1 24 0 56

1 11 051 290

3. 已知两个线性变换

x 2y1 y3 1

x2 2y1 3y2 2y3 x 4y1 y2 5y3

3 y 3z1 z2 1

y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

解 由已知

x1 201 y1 201 310 z1 x 232 y 232 201 z x2 415 2 415 0 13 2

y2 z3 3

613 z1

12 49 z2 10 116

z3

x 6z1 z2 3z3 1

x2 12z1 4z2 9z3 x 10z1 z2 16z3

所以有 3 12 10 A 13 B 12

问 4. 设

(1)AB BA吗?

解 AB BA

34 12 AB BA 38

所以AB BA 46 因为

(3)(A B)(A B) A2 B2吗? 解 (A B)(A B) A2 B2

22 02 A B A B 25 01 因为 22 02 06

(A B)(A B)

250109

38 10 28

A2 B2

4113417 而

故(A B)(A B) A2 B2

5. 举反列说明下列命题是错误的

(1)若A2 0 则A 0

01 A

00 则A2 0 但A 0 解 取

(2)若A2 A 则A 0或A E

11 A

00 则A2 A 但A 0且A E 解 取

(3)若AX AY 且A 0 则X Y

解 取

10 1A X 00 1

则AX AY 且A 0 但X Y

1 11 Y

1 01

10

A 0 1

00 求Ak 7. 设

解 首先观察

2

10 10 2 1

2

A2 0 1 0 1 0 2

00 00 00 2

33 23

A3 A2 A 0 33 2

00 3

44 36 2

A4 A3 A 0 44 3

00 4

55 410 3

A5 A4 A 0 55 4

00 5

kk 1k(k 1)k 2

k k2A k0 k k 1 k

00

用数学归纳法证明

当k 2时 显然成立 假设k时成立，则k 1时，

kk 1k(k 1)k 2 k

10 2

0 1 Ak 1 Ak A 0 kk k 1 00 k00 k 1k 1(k 1)kk 1 (k 1)

2

0 k 1(k 1) k 1 k 1

00

由数学归纳法原理知

kk 1k(k 1)k 2 k

2

kk

A 0 k k 1

00 k

8. 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为AT A 所以 (BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 从而BTAB是对称矩阵 11 求下列矩阵的逆矩阵

12 25

(1)

12 A

25 解 |A| 1 故A 1存在 因为 5 2 AA A* 1121

21AA 1 …… 此处隐藏：2544字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……