圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用

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22数学通讯　　　　　　　　　　　　　2007年第22期

圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用

彭世金

(常德市第六中学,湖南　415003)

2)焦点在与y轴平行(重合)的对称轴

定理　设倾斜角为α的直线经过对称轴

与坐标轴平行(重合)的圆锥曲线的焦点F,且与圆锥曲线交于A,B两点,记圆锥曲线的离心率为e,焦点F到相应准线的距离为p,则

1)当焦点在与x轴平行(重合)的对称

轴上时,弦AB的长AB=;

1-e2cos22)当焦点在与y轴平行(重合)的对称

轴上时,弦AB的长AB=.

1-e2sin2本文仅以焦点在x2-2=1(a

ab

>0,b0),焦点F(-c,0)到相应准线的距

2

2

上,当A,B在椭圆、抛物线或双曲线的同一

支上时,AB=;当A,B不在双

1-e2sin2α

曲线的同一支上时,AB=22.

esinα-1

下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的应用.

例1　(22题)2

2

=1F1,

F2B,D两点,过F2的直

A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.

(I)设P点的坐标为(x0,

y0),证明:

2

3

+

2

2

<1.

(II)求四边形ABCD的

离p=c-

=,离心率e=,弦AB所cca

22

α,x=-c+tcos

(t为参数).

α,y=tsin

将其与双曲线方程联立,整理得(a2sin2α22

)t2+2b2ccosα t-b4=0,-bcosα

于是由t的几何意义可得:

AB

=

2

面积的最小值.

图1　例1图

解(I)(略).

(II)设直线BD的倾斜角为α,由AC⊥

π

BD可知,直线AC的倾斜角为α+,或α-2

22

,由椭圆+=1得焦点到相应准线的232

距离p=-c=2,离心率e=.又BD,

c3AC分别过椭圆的左,右焦点F1,F2,于是

BD

=

2

t1-t2=

-2222

asinα-bcosα

2

==22

a1-ecos=.

1-e2cos2x轴平行(重合)的对

4

2

2222)asinα-bcosα

2

=2222

asinα-bcos2

22

ca1-ecos注　1)焦点在与

=,22

1-ecosα3-cos2α

AC=

α)1-e2cos2(

2

π

=

.

3-sin2α

称轴上,当A,B在椭圆、抛物线或双曲线的

一支上时,AB=;当A,B不在

1-e2cos2α

双曲线的一支上时,AB=22.

ecosα-1

四边形ABCD的面积

S=BDAC

2

=

2

23-cosα3-sin2α

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2007年第22期　　　　　　　　　　　　　　数学通讯23

.

(3-cosα) (3-sinα)α24+sin22α∈[0,π),∴α∈[0,1],故S∈∵sin22

=

2

2

=

[

,4].25

故四边形ABCD的面积的最小值是

2

.25

例2　(2005年高考全国卷II文第22

2

题)P,Q,M,N四点都在椭圆x+

2

=1上,

Fy.PFFQ,MFN,且M=0.求

四边形PQMN的面积的最小值和最大值.

解　由条件知MN,PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且MN⊥PQ.设

MN的倾斜角为α,则PQ的倾斜角为α+,

2

2

π2

或α-,由椭圆x+=1知焦点在y轴22

上,且焦点到相应准线的距离=-=

c

2

1,=

=

2

=,22

1-esinα2-sin2α

圆C1的右焦点.

(

I)当AB⊥x轴时,求p,m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

(II)若p=且抛物线C2的焦点在直

3

线AB上,求m的值及直线AB的方程.

解　(I)当AB⊥x轴时,点A,B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,))

或(1,-.图2　例3图

22

因为点A在抛物线上,所以=2p,即

4

p=.此时C2的焦点坐标为(),该焦

8上.

π

,(知α.

2

α (x-1).因C2y=tan的焦点在AB上,焦准距p=,离心率e=1,

3

故AB==.又AB22

)1-ecosα3(1-cos2α

过C1的右焦点,焦准距p1=-c=3,e1=

c

2

PQ=

α)1-e2sin2(

2

=

.

2-cos2α

四边形PQMN的面积

S=MN PQ

2

2

22-sinα2-cos2α=.

α8+sin22

α∈[0,π),∴α∈[0,1],故S∈∵sin22

=

[

=.22

1-e1cosα4-cos2α于是有=,解得2

)3(1-cosα4-cos2α

α=±.因为C2的焦点cos2α=,tan7(,m)在直线y=tanα (x-1)上,所以F3,故AB2

=

m=-

αtan,即m=或m=-.333

时,直线AB的方程为y3

时,直线AB的方程为y=3

,2].9

=-

当m=

故四边形PQMN的面积的最小值和最

大值分别是和2.

9

例3　(2006年高考湖南卷文21题)已知椭圆C1:

2

(x-1);

当m=-(x-1).

4

+

2

3

2

=1,抛物线C2:(y-m)

=2px(p>0),且C1,C2的公共弦AB过椭

(收稿日期:2007-07-16)