2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根式

第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时 根式

【引例1】

银杏, 是全球中最古老的树种 . 在 200 多万年前 , 第四纪冰川出现 , 大部分地区的银杏毁于一旦 , 残留 的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难 中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成 了研究古代银杏的活教材 . 所以, 人们把它称为“世 界第一活化石”.

考古学家根据什么推断出银杏于 200多万年前就 存在呢?

【引例2】当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个 时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体 内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 , 这个关系式应 该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题:

(1)当生物体死亡了5 730, 5 730〓2, 5 730〓3, 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?1, 2( 1 ) 2 , ( 1 )3 , 2 2 .

(2)由以上的实例来推断关系式是 P ( 1 ) 2

t 5 730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后, 体内碳14的含量P的值. 这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分

数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知

识。

1.掌握n次根式及根式的概念；(重点) 2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(难点)

探究点1

n次方根的概念

2=4,则称±2为4的 ① ( ± 2) 平方根； 【问题1】

② 23=8,则称2为8的 立方根 ；

类似地，(±2)4=16,则±2叫做16的 4次方根 ；25=32,则2叫做32的 5次方根 .

归纳总结 一般地，如果xn=a,那么x叫做a的 n次方根 ， 其中n>1,且n∈N﹡.

练一练:(1) -32的五次方根等于_____. -2 (2)81的四次方根等于____. 〒3 (3)0的七次方根等于_____. 05

32 2

4 81 37

0 0

方根的性质 1.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根 是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数 没有偶次方根；0的偶次方根是0.x 当n为奇数时，n

a( a R )

n x a (a 0) 当n为偶数时，

0的任何次方根都是0,记作 n 0 =0.

探究点2 根式的概念 根式的概念：式子n

a 叫做根式，这里n叫做根

指数，a叫做被开方数. 根指数 根式

n

a

被开方数

归纳总结

( 3 2)3 ,( 5 2)5 ,( 4 2)4 分别等于什么？一般地 ( n a )n 等于什么？

( 2) =2, ( 5 2)5 2, ( 2) 24 4

3

3

根据n次方根的意义，可得 ( n a )n a

探究点35 5

根式的运算性质2,3

(1) 2

( 2)3 2

.( 3) 2 3

结论:an开奇次方根,则有 n a n a.

(2) 3 3 ,2

( 3) 2 34

. .n4

(3) 2 4 4

2 ,

( 2

) 4 2n

( 2) 4 2

结论:an开偶次方根,则有

a | a | .

归纳总结

⑴当n为任意正整数时，( n a )n=a.⑵当n为奇数时，n a n =a;

当n为偶数时， an

n

a ,( a 0 ) =|a|= . a ,( a 0 )

例 求下列各式的值:

(1)3 ( 8)3 ;(3) 4 (3 ) 4 ;解：(1) 3 ( 8)3 8;

(2) ( 10) 2

;

(4) (a b)2 (a b).注意符号

(2) ( 10) 2 10 10; (3) 4 (3 ) 4 3 3; (4) (a b) 2 a b a b (a b).

【提升总结】

根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇 次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化 简或求值.

1.判断下列式子中正确的是(1)(4)(6)(8)

1 5

2 3 2 25

2

5

; 2 ; 4 ; 6

4

2

8

4

2 5 ; ;

4

4

13

5 b n n

13

2n

b

2n n

b

4

b

2

7 (

n

a ) 总有意义

; 8 a 总有意义

2.求下列各式的值5 ( 1 ) ( 2)5 =

210

;;

4 (2) ( 10) 4 =

a b (a b), 4 4 (3) ( a b) = b a (a b).

.

3.若6<a<7,则 (a 6) 2 + ( a 7) 2 4.计算25 3 27 0.062 5+ = 4 8

1

4

3 2

【解析】原式=

4

1 4 5 2 3 3 3 ( ) + ( ) - ( ) 2 2 2

1 5 3 3 + - = . 2 2 2 2

本节课你有什么收获？

n次方根的概念： 一般地，如果xn=a,那么x叫做a的 n次方根(n>1,且n∈N* ). 根式的概念： 根指数根式

n

a

被开方数

根式的性质： 对于任意正整数 ( n a )n a 当n是奇数时 n an a ;

当n是偶数时

n

a(a 0) a a a(a 0)n