分析02-线性方程组直接解法

关于线性方程组的数值解法

第二章 线性方程组直接解法

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第二 章

线性方程组

直接解法2-1

关于线性方程组的数值解法

第二章 线性方程组直接解法

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第二章目录§1. Gauus 消元法 §2. 主元素法 2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆

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§6.方程组的性态和条件数

2-2

关于线性方程组的数值解法

在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中，线性 线性方程组的概念 方程组的求解问题是基本的，常见的，很多问题如插值函 数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等 ，都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法 在数值计算中占有较重要的地位。

设n阶线性方程组：a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (2 - 1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 其矩阵形式为：

Ax=b (2-2)

第二章 线性方程组直接解法

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a11 a12 a1n x1 b1 其中： a21 a22 a2 n x2 b2 A ,x : ,b ∶ x b a a a 2-3 n nn n n1 n 2

关于线性方程组的数值解法

如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0,则该方程组有唯一解。求解Ax = b,曾经学过高斯(Gauss)消元法， 克莱姆(Cramer)法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。第二章 线性方程组直接解法 2-4

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线性方程组的概念(续)

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关于线性方程组的数值解法

解线性方程组的数值方法大致分为两类： 1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有 限步四则运算可求得方程组准确解的方法。 2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。 这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小 数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因 而即使是准确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组(≤100个),特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法

。第二章 线性方程组直接解法 2-5

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线性方程组的数值解法

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关于线性方程组的数值解法

Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:

例1 解线性方程组：x1 x2 x3 6

解：消去x1,进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组： x1 x2 x3 6 (2 - 3)(a) 15x2 9 x3 57 21x 17x 93 3 2-6 第二章 线性方程组直接解法 2

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§1 Gauss消元法

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12x1 3 x2 3 x3 15 18x 3 x x 15 1 2 3

(2 - 3)

关于线性方程组的数值解法

再消一次元得： x1 x2 x3 6 二次消元后将方程化为 15x2 9 x3 57 22 66 倒三角形式，然后进行 x3 5 5

回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。 上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将 方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过 程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原 方程组的解，此过程称为回代过程。 我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方 程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。第二章 线性方程组直接解法 2-7

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例1(续)(2 - 3)(b)

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关于线性方程组的数值解法

(1 (1 (1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a13) x3 a14) x4 b1 1) Gauss消元法的基本步骤1(4阶) (1) (1 (1 (1 ( a21 x1 a22) x2 a23) x3 a24) x4 b21) (2 - 4) 为能更清楚地得到算法，下面以4阶线性方程组为例总结 (1) (1) (1) (1) (1) a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 求解步骤，并且很容易地可推广至一般的n阶线性方程组。 a (1) x a (1) x a (1) x a (1) x b (1) 42 2 43 3 44 4 4 41 1

统一加上标 并简记为A(1) x b(1) , A(1) A, b(1) b, 首先消元: ,(1 第一步 : 找乘数, 假定a11) 0, 要消第二个方程中x1 , 可以 (1 a21) (1 a11) (1 a31) (1 a11) (1 a21) (1 a11)

而以

乘第一个方程加到第三, 第四个方程上消x1 , 这些乘数实际上可记为 l 21 , l (1) (1) 31 a11 a11 第二章 线性方程组直接解法(1 a21) (1 a31)

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为乘数, 分别

乘第一个方程加到第二个方程中, 并以

,

(1 a41) (1 a11)

, l 41

(1 a41) (1 a11)

或记为li1

1 ai(1 ) (1 a11)

(i 2,3,4)2-8

关于线性方程组的数值解法

可以检查，分别以 li1乘第一个方程加到第i个方程上 可以完成第一次消元，得同解方程组：

a x a x a x a x b 变化以后的方 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 程组系数及右 (2 - 4)(a) 边的常数项可 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 总结出如下的 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 计算公式： a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4

(1) 11 1 (1) 12 2 (1) 13 3 (1) 14 4 (1) 1

( ( aij2 ) aij1) li1a1(1j) ( 2 ) (1) (1) bi bi li1b1 第二章 线性方程组直接解法

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Gauss消元法的基本步骤2(4阶)

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i, j 2,3,4

完成第一次消元之后 的 方程组记为：

A(2) x = b (2)2-9

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a 第二步: 消x2 , 首先找到乘数 li 2 a

以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2 (i = 3,4),完 成第二次消元。 (1) (1) (1) (1) (1)

上标为3的系数 ( ( ( aij3) aij2) li 2 a 22j) 和右端项可由 下面公式计算： (3) ( 2) ( 2)第二章 线性方程组直接解法

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Gauss消元法的基本步骤3(4阶)( 2) i2 ( 2) 22

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, i 3,4

a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 (2 - 4)(b) ( 3) ( 3) ( 3) a33 x3 a34 x4 b3 ( 3) ( 3) ( 3) a43 x3 a44 x4 b4 bi bi li 2 b2 i, j 3,42-10

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第三步：消元(4阶方程组需进行3次消元) Gauss消元法的基本步骤4(4阶) 将上述 A (3) X = b(3) 中最后一个方程中的x3消为零：(3 a43) …… 此处隐藏：3414字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……