2.6九年级数学上册第二章第六节-应用一元二次方程1-新北师大版

第二章

一元二次方程第六节

应用一元二次方程(一)

尉氏实验中学 数学组

2014.9

还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？.

如图一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距 离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

数 学 化

解：由勾股定理可知，滑动前梯 6 子底端距墙____m 如果设梯子底端滑动x m,那么

1 8m7m

滑动后梯子底端距墙(x+6) m根据题意，可得方程： 6m

x

72+(x+6)2=102 2014.9

数 学 化

8m

(8-x)m

x 6m (1)在这个问题中,梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距 离大于 1 m,那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离 和它相等呢？ (8-x)2+(x+6)2=102

x 2014.9

数 学 12 m 化

13 m

12m (12-x)m

x 5m (2)如果梯子的长度是 13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可 能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ (12-x)2+(x+5)2=132

x 2014.9

例题赏析 1如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 A 北 达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里?(2) 已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里, 其中 6 2.449 )D 东

B

E

F

C

图

2-8

2014.9

例题赏析 1如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在 B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给 码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到 C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批 物品送达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里?

连接DF,根据题意得, DF BC , AB BC DFC 90 , ABC 90 AB 200海里, BC 200海里 ∴△ABC为等腰直角三角形 C 45

A

图

2-8

北

200

D

东

?45º B E F 200

C

2014.9

例题赏析 1如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在 B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给 码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到 C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批 物品送达军舰. 图 2-8 北 (2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C A 的途中与补给船

相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里,其中 6 2.449 )

分析: ∵两船速度之比为

v军舰

v 补给船

2 1 2 1

200

D

东

∴相同时间内两船的行程之比为s军舰 s补给船B E

x?

100 F 200 45º C

若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰 的行程应为 2x 海里.图上哪一部分对应的是军舰的行程? 2014.9

例题赏析 1(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰 A 图 2-8 北 在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么 相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确 D 东 200 到0.1海里,其中 6 2.449 ) 解: 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, x 100 则相遇时军舰的行程应2x为海里, 45º 即 DE x海里, AB BE 2 x海里 B E C F 为等腰直角三角形 ? 另外三角形DFC 200 100 6 118.4 FC DF 100 (海里) x1 200 3 EF BC BE FC 答:相遇 100 6 200 2 x 200 100 时补给 x 2 200 300 2 x (海里) 3 船航行 >200 281 . 6 在Rt DEF中, 根据勾股定理可得方程 了约 2 DE<AB 2 2 即 DE<200 x 100 300 2 x 118.4海 2 ( 不合题意 , 舍去 ) 整理,得 3 x 1200 x 100000 0 里. 2014.9

开启

智慧

问题解决1

有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积 等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱? 解:设赛以德得到的钱,即多的一笔钱数为x,则少的一笔钱数 为20-x,根据题意得 x 20 x 96 原方程可变形为2

20 x x 2 96

答:赛义德得到的多的一笔钱数为12.

x 20 x 96 0 2 2 b 4ac 20 4 1 96 16 >0 - - 20 16 20 4 x 2 1 2 x1 12, x2 8 (不合题意,舍去)2014.9

小结

拓展

本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学 们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在建构 方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注 意哪些重要环节? 整体地、系统地审清问题 把握问题中的等量关系 正确求解方程并检验解的合理性 你还有哪些新的、有价值的收获吗?2014.9

小结

拓展

随堂练习

《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙 行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.” 大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7, 乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东 方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远? 解:如图所示,甲、乙二人同时从点0出发,在点B处相遇. v甲 v乙

3x 设相遇时甲的行程为7x步,乙的行程为3x步, B O 即OA 10步, AB (7x 10)步, OB 3x步 10 7x -10 根据题意得 (7x 10)2 102

( 3x)2 (不合题意,舍去) x1 3.5 , x 2 0 A 甲的行程: 3.5 7 24.5(步) 乙的行程: 3.5 3 10.5(步)

s甲 7 7 s乙 3 3

北

东

2014.9

问题解决 2.如图，在 Rt△ACB 中，∠ C = 90°,点 P,Q 同时由 A, B 两点出发分别沿 AC,BC 方向向点 C 匀速移动(到点 C 为 止),它们的速度都是 1 m/s.经过几秒 △ PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？

2014.9

问题解决 3.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2,上口比渠底宽 0.6 m,渠深比渠底少 0.4 m,求渠深.

2014.9

问题解决 4.如图，在 Rt△ACB 中，∠ C = 90°,AC = 30 cm,BC = 25 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动，速度是 2 cm/s;动 点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向运动，速度是 1 cm/s.几秒后 P, Q 两点相距 25 cm ?

2014.9

心动

不如行动

有100米长的篱笆，想围成一个矩形露天羊圈，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵长50

米的旧墙。现请你设计矩形羊圈的长和宽使它符合要求，你有多少种设计方案呢？

2014.9

心动

不如行动

有100米长的篱笆，想围成一个矩形露天羊圈，要求面积不小 于600平方米，在场地的北面有一堵长50米的旧墙。现请你设 计矩形羊圈的长和宽使它符合要求，你有多少种设计方案呢？ 充分利用50米的旧墙，即矩形的一 边长是50米，

50

用100米篱笆围成矩形羊圈，则矩形的另一边长为25米， S=50×25=1250 所以设计符合要求 2014.9 ( 252

m

)