第十二讲统计模型数据拟合方法

统计模型 (一)数据拟合方法 (二)多元回归方法 案例： 案例：软件开发人员的薪金问题

课堂讨论

投资的收益和风险市场上有n种资产(如股票、债券等) 市场上有 种资产(如股票、债券等)Si(i=1, 种资产 ， 2,…,n)供投资者选择，某公司有数额为 的一笔相当 ， , 供投资者选择 某公司有数额为M的一笔相当 供投资者选择， 大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种 大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这 种 资产进行了评估，估算出了这一时期内购买 的平均收益 资产进行了评估，估算出了这一时期内购买Si的平均收益 率为ri,并预测出购买 的风险损失率为 的风险损失率为qi。 率为 ，并预测出购买Si的风险损失率为 。考虑到投资 越分散，总的风险越小，公司确定， 越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若 干种资产时，总体风险可用所投资的 中最大的一个风险 干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险 来度量。 来度量。

购买Si要付交易费，费率为 ， 购买 要付交易费，费率为pi,并且当购买额不 要付交易费 超过给定值ui时 交易费按购买 计算 计算( 超过给定值 时，交易费按购买ui计算(不买当然不 付费)。另外，假设同期银行利率是 付费)。另外，假设同期银行利率是r0(r0=5%), )。另外 ), 且既无交易费也无风险。 且既无交易费也无风险。 相关数据如下表所示。 相关数据如下表所示。 试给该公司设计一种投资组合方案， 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的 资金，有选择的购买若干资产或银行生息， 资金，有选择的购买若干资产或银行生息，使净收益 尽可能大，而总体风险尽可能小。 尽可能大，而总体风险尽可能小。

投资的相关数据表

Si S1 S2 S3 S4

ri(%) qi(%) pi (%) ui(元) 元 28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40

1 问题分析 投资策略：为了使净收益尽可能大， 投资策略：为了使净收益尽可能大，风险尽可能小确定最优投资组合。 确定最优投资组合。 问题为 以投资组合为决策变量的双目标随机规划问题。 以投资组合为决策变量的双目标随机规划问题。 投资组合：确定给资产 投资多少的问题 投资多少的问题。 投资组合：确定给资产Si投资多少的问题。

1.确定设计变量和目标变量 确定设计变量和目标变量净收益、 净收益、风险额为目标变量 给每种资产的投资额为设计变量

2.确定目标函数的表达式 确定目标函数的表达式寻找设计变量与目标变量之间的关系 寻找设计变量与目标变量之间的关系

3.寻找约束条件 寻找约束条件设计

变量所受的限制

2 符号说明符号

Si

符号意义 种资产( 第 i 种资产( i = 1,2, L , n, n + 1 ) S i +1 表示存入银行Si 的平均收益率 Si 的风险损失率 Si 的交易费率 S i 购买额阈值资金总额 投资 S i 的资产数额 投资 S i 的交易费用 净收益 总体风险 权因子

riqi pi uiM

xi yi f1f2

λ

3 模型的建立净收益 = 投资平均收益 — 交易费 风险额 = 各个风险额的最大者 购买各种资产的费用+交易费用 总投资 = 购买各种资产的费用 交易费用n +1 i =1 n +1 i =1

f1 = ∑ ri xi ∑ yif 2 = max (qi xi )0 ≤i ≤ n

0 yi = u i p i x p i i

xi = 0 0 < xi < u i xi ≥ u i

∑ (x + y ) = Mi =1 i i

n +1

所建优化模型为max f1 = ∑ ri xi ∑ yii =1 i =1 n +1 n +1

双目标的优化模型

min f 2 = max (qi xi )1≤i ≤ n i≤

s.t.

∑ (x + y ) = Mi =1 i i

n +1

0 yi = u i p i x p i i

xi = 0 0 < xi < u i xi ≥ u i

4 模型的转化目标函数的确定

min

f = (1 λ )( f 1 ) + λ f 2

交易费函数的线性化

0 yi = ui pi x p i i风险函数的转化

xi = 0 0 < xi < ui xi ≥ ui

yi = pi xi

xn+2 = f 2 qi xi ≤ xn+ 2

整数线性规划模型min f = (1 λ )∑ (ri pi ) xi + λxn + 2i =1 n +1

s.t.

n +1 ∑ ( xi + pi xi ) = M i =1 qi xi xn + 2 ≤ 0 i = 1,2, L, n x ≥ 0 i = 1,2, L, n + 2 i 用软件可以求解

5 模型的求解

当人们对所研究的对象的内在特征和 各因素的关系比较充分时， 各因素的关系比较充分时，用机理分析的 方法建立数学模型； 方法建立数学模型；由于客观事物的复杂 性及人们认识程度的限制， 性及人们认识程度的限制，无法分析实际 对象内在的因果关系， 对象内在的因果关系，因此无法建立合乎 机理规律的数学模型。 机理规律的数学模型。 方法：搜集大量的数据， 方法：搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析去建立数学模型。 计分析去建立数学模型。统计分析方法

数据拟合方法

最小二乘法

数据拟合建模给定一组有序的数 据点，这些点可以是从 实验中测量得到的，也 可以是设计员给出的。 希望 构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对 这些点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 构造插值曲线所采用的数学方法称为曲线插值法。40 35 30 25 20

100

200

300

400

注意到 测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗 糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据 点就没有什么意义。 构造一条曲线使之在某 种意义下最接近给定的数据 点将更为合理，称之为对这 些点进行曲线逼近。50 40 30 20 10

1 00

2 00

3 00

4 00

构造逼近曲线所采用的数学方法称为曲线逼近法。 相应的有曲面插值(逼近)问

题。

常用的拟合方法有： 常用的拟合方法有： 1、一般插值法 、 2、样条插值法 、 3、最小二乘法 、

40 35 30 25 20

100

200

300

400

50 40 30 20 10

1 00

2 00

3 00

4 00

最小二乘法的基本原理 在实验中收集到一组数据y = f ( x , a , b, L , c )( xi , yi ), i = 1,2,L , m

可以由这组数据分析出一个经验公式： 其中 a, b,L, c 为一组待定参数，使得[ yi f ( xi , a, b,L , c)]2 ∑i =1 m

取到最小值，从而确定出参数 a, b,L, c 的值。 这样就得到由这组数据确定的拟合函数。

假设我们预想到一个确定形式的模型，并且 已经收集了数据并进行分析。在这里用最小二 乘准则来估计各种类型曲线的参数。 拟合直线 用 y = ax + b 记作 y = Ax + B的最小二乘估计。 这时运用最小二乘准则 ，则要求极小化

S = ∑ [ yi f ( xi )]2 = ∑ [ yi axi b)]2i =1 i =1

m

m