09-10学年第二学期《高等代数》期末考试卷1

一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）

1. 下列说法错误的是________.

A) 若向量组

线性无关，则其中任意两个向量线性无关；

B) 若向量组中任意两个向量线性无关，则线性无关；

C)

向量组线性相关；

D) 若向量组线性无关，则线性无关

.

2. 设n维列向量

线性无关, 则n维列向量

线性无关的充要条件是________.

A) 向量组

可由向量组

线性表示；

B) 向量组

可由向量组线性表示；

C) 向量组与向量组等价；

D) 矩阵与矩阵相抵

.

3. 设线性方程组A)

.

的解都是线性方程组

； C)

的解，则

____.

； D)

； B)

4. 设n阶方阵A的伴随矩阵解，则对应的齐次线性方程组

，非齐次线性方程组的基础解系____.

有无穷多组

A) 不存在；

B) 仅含一个非零解向量；

C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量.

5.

下列子集能构成的子空间的是________.

A) ；

B) ；

C) ； .

D)

6. 设V是数域K上的线性空间, V上的线性变换在基阵为A且

，若在基

下的矩阵为B, 则

下的矩________.

A) ； B) 2； C) ； D)

不能确定. 7. 设V是维向量空间，和的充分必要条件是________. A) 和C)

都是可逆变换；

B) Ker=Ker是V上的线性变换，则

；

； D) 和在任一组基下

的表示矩阵的秩相同. 8. 设个.

是线性空间V到U的同构映射, 则下列命题中正确的有________

(Ⅰ) 为可逆线性映射；

(Ⅱ) 若W是V的s维子空间, 则是U的s维子空间；

(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；

(Ⅳ) 若, 则.

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4

二、 填空题（32分.

共8题,

每题4分）

1. 若矩阵经过行初等变换化为, 那么向

量组的一个极大无关组是_________________, 其余向量由此极

大无关组线性表示的表示式为________________. 2. 设3维向量空间的一组基为

在这组基下的坐标为____.

，则向量

3. 设，均为线性空间V的子空间，则____.

4. 数域上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是____.而____是

它的一组基. 5. 已知Im=____.

上的线性变换定义如下：

，则Ker=____.

6.

设是数域上维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 则为

满射的充分必要条件是____.（请写出两个） 7. 设

和

的过渡矩阵为，则在基

是线性空间V的两组基，从. 若是V上的线性变换且

下的表示矩阵是

____ .

到

8. 设是线性空间V上的线性变换，在基，其中A为

下的表示矩阵为

矩阵，则存在V

的一个非平凡-不变子空间____.

三、 (8分) 设线性空间V的向量组量组性表示.

四、 (10分) 设,

分别是数域

线性无关，

可由

，考虑向

线

.求证：或者该向量组线性无关，或者

上的齐次线性方程组

.

与

的解空间. 证明

五、 (10分) 设

，使得

. 证明：

且

.

的充分必要条件是存在，

六、 (8分) 设V, U, W是有限维线性空间，

映射. 求证：存在线性映射

.

使得

，是线性

的充分必要条件是

附加题: (本部分不计入总分)

设V, U, W是有限维线性空间且是线性映射. 证明：存在可逆线性映射件是

一、填空：（每空2分，共30分）

，使得

，

的充分必要条

.

1、n元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。 2、A为正定矩阵，则A _______。

3、L( 1, 2 s)的维数__________向量组 1, 2 s的秩。 4、V1，V2都是线性空间V的子空间，则维V1+维V2=______________。 5、和V1+V2是直和的充要条件为V1 V2 ___________。

6、数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。

7、A，B是两个线性变换，它们在基 1, 2, n下的矩阵分别为A，B，则A+B在基 1, 2, n下的矩阵为______________。

8、A是n维线性空间V的线性变换，则A的秩+A的零度=______________。 9、在欧几里德空间中，=_______。 , =_______。 10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。 11、A为正交矩阵，则A=_______，A 1=_______。

二、判断（每题2分，共10分）

1、A的值域是A的不变子空间，但A的核不是A的不变子空间（ ）。 ２、两个子空间的交还是线性空间V的子空间（ ）。 3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。 4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。 5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。

三、t取什么值时，二次型x1 x2 5x3 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定？（10分） 四、在P4中，求向量 在基 1, 2, 3, 4下的坐标，其中

2

2

2

1 （1，1，1，1）， 2 (1，1，-1，-1)， 3 （1，-1，1，-1）

， =（1，2，1，1）（10分） 4 （1，-1，-1，1）

五、P3中，令 (a1,a2,a3) (2a1 a3,a1 4a3,a1 a2)，求 在基{ 1, 2, 3}下的矩阵。（10分）

四、六、在R上矩阵A是否可对角化，如果A可对角化，则求可逆矩阵C使C 3

角矩阵，其中A 1

1

120

1

0。（12分） 2

1

AC是对

七、在R4中，求 , ，其中 （2，1，3，2）， （1，2，-2，1）（8分）

八、对R3的基 1 (1,1,1), 2 (0,1,1), 3 (0,1, 1)施行Schmidt正交化，得出R3的一组标准正交基。（10分）