北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 圆锥曲线试题解析

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编

一、选择题： 6. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离

心率e

2

2

，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为

2

2

2

2

y 1 D. x y 1

2

2

A．

x

2

y 1 B．

2

x

2

y

3

1 C.

x

4

【答案】A 二、填空题：

于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 4x-3y-20=0

14. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)如图，已知抛物线y x及两点

A1(0,y1)和A2(0,y2)，其中y1 y2 0.过A1，A2分别作

2

（13）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)抛物线y x的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点M(1,1)，且与准线相切的圆共有 个．x

14

2

; 2

AB

2psin

2

或

2p

tan 1

tan

2

2

解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b 1，a 2b 2，

故椭圆方程为

x

2

2

y

2

1． 5分

即2k m 2

x1 x2x1x2

8． 10分

所以k

mkm 2

4，整理得 m

12

12

k 2．

12

故直线AB的方程为y kx 所以直线AB过定点（

12

k 2，即y k（x ） 2．

, 2）． 12分

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x x0， 设A(x0,y0)，B(x0, y0)， 由已知

y0 2x0

y0 2x0

8，

得x0

12

．此时AB方程为x

12

12

，显然过点（

12

, 2）．

综上，直线AB过定点（ , 2）． 13分

【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定a、b.求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；

“定式”是指

数关系式，借助均值不等式求取范围.

（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得 c 1. 1分 因为椭圆C的离心率为

2

12

2

，

2

所以a 2c 2，b a c 3. 3分

x

2

故椭圆C的方程为 分

4

y

2

3

1. 4

（Ⅱ）解：当MN x轴时，显然y0 0. 5分

线段MN的垂直平分线方程为y

3k3 4k

2

1k

(x

4k

22

3 4k

).

在上述方程中令x 0，得y0

k3 4k

2

13k 4k

. 10分

(19) （2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1( 1,0)， P为椭圆G的上顶点，且 PF1O 45 . （Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）已知直线l1：y kx m1与椭圆G交于A，B两点，

直线l2：y kx m2（m1 m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB| |CD|，如图所示.

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).

y kx m1,

（ⅰ）证明：由 x2消去y得：(1 2k2)x2 4km1x 2m12 2 0.

2

y 1. 2

则 8(2k2 m12 1) 0，

同理

|CD| 因为 |AB| |CD|,

. 7分

所以

因为 m1 m2，

所以 m1 m2 0. 9分

所以

S |AB| d 2

2

2k m1 1 m1

2

（或S ）

22

所以 当2k 1 2m1时， 四边形ABCD的面积S

取得最大值为 13分

（19）（本小题满分14分） 解:

（Ⅰ）依题意，由已知得c

，a b 2，由已知易得b OM 1,

2

2

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y k(x 1).

x

2

将y k(x 1)代入

3

y 1整理化简，得(3k 1)x 6kx 3k 3 0. 6分

22222

依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

12(2k 1)6(2k 1)

2

2

2. . . 13分

综上得k1 k2为常数2. . . 14分

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，

消去y得 4(1 3k)x 60kx 27 0． 7分

2

2

（19）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共13分）

已知椭圆C：

xa

22

yb

22

1 a b 0 的离心率是

12

，其左、右顶点分别为A1，A2，

解得a

2，b 故

x

2

． 4分

所求椭圆方程为

4

y

2

3

1． 5

分

N(4,

2y0x0 2

)． 7分

所以F2M (3,

6y0x0 2

)，F2N (3,

2y0x0 22y0

).

所以 F2M F2N (3,

6y0x0 26y0x0 2

) (3,

x0 2

)

9

2y0x0 2

9

12y0

2

2

x0 4

9

3 12 3x0

x0 4

2

2

9

9 x0 4

2

x 4

20

9 9 0．

3 x0 1

12 3x x

20

1

x 4

20

3 x0 1 3 x0 1 0．

所以

F2E F2P． 12分

因为F2E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，F2E F2P，

异于A1,A2的动点，直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明：DE DF恒为定值. （19）（共13分）

.

即

DE 2)

y0x0 2

. 7

分

又直线A2P的方程为y 即

DF 2)

y0x0 2

y0x0

2

(x 2)，令x

y

2)y0

x0 2

，

. 9

分

所

以

19. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共14分）

已知椭圆C：

xa

22

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