高等数学A上册3-1 微分中值定理

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第三章微分中值定理与导数的应用拉格朗日中值定理

中值定理

罗尔定理柯西中值定理研究函数性质及曲线性态

导数的应用

利用导数求极值和最值

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第一节微分中值定理导数应用的理论基础问题：假设你开车两小时走了150公里，平均速度是75公里/小时，请问在这两小时内关于瞬时速度你能够肯定什么？肯定有一刻的瞬时速度刚好是75公里/小时.

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解释：如果每一刻的速度都超过75公里/小时，则两个小时所走过的路程将超过75×2=150公里，矛盾。反之，如果每一刻的速度都小于75公里/小时，则两个小时所走过的路程将小于150公里。所以必有一些时刻速度超过75公里/小时，而在另一些时刻速度小于75公里/小时。因为速度是连续变化的，所以中间必有一个时刻速度刚好是75公里/小时。所以物体在运动过程中必有一个时刻的瞬时速度等于物体在整个时间段的平均速度.

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拉格朗日中值定理指的就是函数在一个区间内存在某一点的瞬时变化率等于函数在整个区间的平均变化率。 (拉格朗日中值定理)设函数f (x)满足 (1)在开区间(a,b)内可导； (2)在闭区间[a,b]上连续；

则在(a, b)内至少存在一点，使得

f (b) f (a )平均变化率瞬时变化率 f ( ) b a中值定理把导数这个局部概念和平均变化率这个整体概念联系起来。

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拉格朗日中值定理的几何意义：f (b) f (a )弦的斜率切线斜率 f ( ) b a平滑曲线上至少有一点的切线平行于其两个端点的连线。

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注：条件(1) (2)缺一不可。yAB

yA

B

0

x0

x0

x

区间内有不可导的点

区间端点不连续

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拉格朗日中值定理的特殊情形：罗尔定理条件同上，且f (a ) f (b),

则在(a, b)内至少存在一点，使得 f ( ) 0 .

罗尔定理的几何意义：如果平滑曲线的两个端点是水平的，则曲线上至少有一点的切线也是水平的。(如曲线上离弦最远的点，即区间内的最值点)

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证 f ( x )在[a, b]连续, 必有最大值M和最小值m.(1)若 M m .则 f ( x ) 常数.

由此得 (a, b), f ( ) 0.( 2)若 M m . f (a ) f (b),

则至少其中一个最值在, b)取得. (a

不妨设 f ( ) m. (a, b)f ( x ) f ( ) 0 f ( ) lim 0;函数与其极限 x 0 x 0的局部同号性 f ( x ) f ( ) 0 f ( ) lim 0; x 0 x 0 f ( )存在, f ( ) f ( ). 只有 f ( ) 0.

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拉格朗日中值定理的几何证明：即要证平滑曲线上至少有一点的切线平行于其两个端点的连线。证明：将曲线连同其两个端点的连线绕着其中一个端点旋

转至两个端点是水平的。由罗尔定理知旋转后曲线上 y必有一点的切线也是水平的。

即平行于两个端点的连线 AC,再把整个图形旋转回去即得结果。o

y f ( x)

B

A

C

x

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f (b) f (a )中值定理： ( ) f b a

(a, b)

即 f (b) f (a ) f ( )(b a ) (a, b)或 f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( x0, x )意义:中值定理精确地表达了函数在一个区间上的改变量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.

中值定理的应用：计算 y或 f ( x ).f ( x ) f ( x0 ) 比较 f ( x ) f ( x0 )

{

f ( )( x x0 ) ( x0, x ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )微分近似公式

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性质：如果函数 f ( x )在(a, b)内每一点的导数都为零,则 f ( x )在(a, b)是一个常数.证明：任取 x1, x2 (a, b),且x1 x2, f ( x )在[ x1, x2]上满足拉格朗日中值定理条件。 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0 ( x1, x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ).

注：所以要证明一个函数是常量，只要证明这个函数的导数处处为零.推论：如果函数f ( x ), g( x )在(a, b)内每一点的导数都相等,则 f ( x ), g( x )在(a, b)内至多相差一个常数 .即 f ( x ) g( x ) C . ( [ f ( x ) g( x )] 0)

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例1试证| arctan b arctan a| | b a| .证明：设 f (x)=arctan x,不妨设a<b .由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.1 (b a ), a b . arctan b arctan a 2 1

arctan b arctan a | b a| .

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x例2证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x证:注意到 ln( 1 x ) ln( 1 x ) ln( 1 0),1,设 f ( x ) ln(1 x ), f ( x ) 1 x

f ( x )在[0, x]上满足中值定理的条件,

1 ( x 0) ( 0 x ) ln(1 x ) ln(1 0) 1 0 x

1 1 1 x

1 1 1, 1 x 1

x x x. 1 x 1

x即 ln(1 x ) x . 1 x

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柯西中值定理设f ( x ), g( x )在(a, b)可导，在 a, b]连续，且[ g ( x ) 0,则在(a, b)内至少存在一点，使得 f ( ) f (b) f (a ) g ( ) g(b) g(a )

注： g( x ) x,令则柯西定理化为拉格朗日中值定理。

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f ( ) f (b) f (a ) ( f (b) f (a )) (b a ) k g ( ) g(b) g(a ) ( g(b) g(a )) (b a )

柯西定理的意义:如果f (x)在一个区间的平均变化率是g (x)的k倍，则在区间内必有一点 f (x)的瞬时变化率也刚好是g (x)的k倍。

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解释:设 f (x)代表甲车的位移, g (x)代表乙车的位移.如果在相同的时间段[a,b]甲车所走过的路程是乙车的k倍，则甲车的平均速度是乙车的k倍，那么在中间必

有一刻甲车的速度也刚好是是乙车的k倍。否则，如果每一刻甲车的速度都超过乙车的k倍，则甲车所走过的总路程必超过乙车的k倍，矛盾。反之，如果每一刻甲车的速度都小于乙车的k倍，则甲车走过的总路程必小于乙车的k倍。因为速度是连续变化的，所以在中间必有一个时刻甲车的速度刚好是是乙车的k倍。

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证明： f (b) f (a ) k,设g(b) g(a )

则 f (b) f (a ) k[ g(b) g(a )]

f (b) kg(b) f (a ) kg(a ) 函数 f ( x ) kg( x )在[a, b]上满足罗尔定理的条件,

在(a, b)内至少存在一点,使得 f ( ) f ( ) kg ( ) 0,即 k g ( ) f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g ( )

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要点:f (b) f (a ) (a, b)拉格朗日中值定理： f ( ) b a

意义：函数在区间内存在某点的瞬时变化率等于函数在整个区间的平均变化率。几何意义：平滑曲线上至少有一点的切线平行于其两个端点的连线。应用：凡是遇到求函数值改变 y,量

可考虑运用拉格朗日中值定理.罗尔定理： f (a ) f (b),则 ,使得 f ( ) 0.如 f ( ) f (b) f (a ) 柯西定理： g ( ) g(b) g(a )

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罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；Rolle定理f (a ) f (b) Lagrange中值定理

g( x ) x

Cauchy中值定理

注意定理成立的条件.