方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)

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1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，

∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.

2

x( )

A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)

x

解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0(1,2)C.

x2＋2x－3，x≤0

3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝ )

－2＋lnx，x＞0

A．0 B．1 C．2 D．3

2

解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1

)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为C.

2________．

x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，

g(x)＝bx2－ax的零点是( )

( ) )

C．(3,4) D．(e,3)

2

解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln30，

3

∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )

1

A．y＝x－ B．y2x－x－1

x

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x＋1 x≤0

C．y＝

x－1 x＞0

x＋1 x≥0

D．y＝

x－1 x＜0

1

解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；

2

只有D中函数无零点．

5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定

解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．

1－

6．设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )

2

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

1－

解析：选B.设f(x)＝x3－()x2，

2

1－1－1

则f(0)＝0－(2<0；f(1)＝1－1<0；f(2)＝23－0>0.(1,2)上．

222

2

7．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1________． 解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，

2a

由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，

a

故x＝－3，即另一个零点为－3.

则a的取值范围是________． 所以有f(－1)·f(1)≤0，

－1.

0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有 ②错，应有三个零点．

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③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.

④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.

答案：③④

10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围． 解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)·f(1)＜0，

即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． a＞0， a＜0， 或 1－a＜0， 1－a＞0， ∴a＜0或a＞1.

1

11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[1]内有没有实数根？为什么？

2

2

解：设f(x)＝log2x＋x，

11113

∵f(＝log2＋()2＝－1＋＜0，

22244

1f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴ff(1)＜0，函数f(x)＝log2

上是连续

21的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2

212．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(1)方程有一正一负两根；

2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)

f 1 ＞0

f 1 ＜0

，不等式组无解．

所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.

法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0， x1－1 x2－1 ＞0即 x1－1 ＋ x2－1 ＞0

x1x2－ x1＋x2 ＋1＞0 . x1＋x2＞2

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12 a＋1 1＞0 a－aa

所以 2 a＋1

a＞2

a＜0 ，不等式组无解． a＞0

即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.

(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，

a＞0 a＜0 所以必须满足或 ，解得a＞0. f 1 ＜0 f 1 ＞0

∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.

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