2.3 矩阵的初等变换

一 、矩阵的定义由 m n 个数 aij i 1,2, , m; j 1,2, , n 排成的 m行 n 列的数表a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n

am 2 amn

称为 m n矩阵. 记作

a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2

a1n a2 n amn

简记为 A Am n aij aij . m n这m n个数称为A的元素,简称为元. 元 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

(2) 特殊矩阵

a1 ,a2 a , 行矩阵与列矩阵; A a1 , 2 , , n B a 1 0 0 1 0 0 单位矩阵; a 2 0n 0 00 0 1 0 . 对角矩阵; 0 0 00 0 数量矩阵； 0 1n 0 0 零矩阵；

方阵 m n ;

上、下三角矩阵； 对称、反对称矩阵.

矩 三 阵 运 算

加法数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵

二、逆矩阵的概念和求法定义使得

对于 n 阶矩阵 A ,如果有一个 n 阶矩阵 B ,AB BA E ,

则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的逆矩阵记作 A 1 .

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C是 A的可逆矩阵，则有AB BA E , AC CA E ,

可得 B EB CA B C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即B C A 1 .

定义

行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成的如下矩阵

A11 A12 A A 1n性质

A21 A22 A2 n

An1 An 2 Ann

称为矩阵 A 的伴随矩阵.

AA A A A E .

矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 , 1 1 且当A可逆时， A A , A 定理1

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推论

若AB E 或BA E , 则B A . 1

当 A 0时, A称为奇异矩阵(退化矩阵), 当 A 0时, A称为非奇异矩阵(非退化矩阵) .

标准(三个):AX=B, XA=B, AXB=C (其中A,B均可逆) 1 1 1 1 其解分别为: X A B, X BA , X A CB .

逆矩阵的性质 1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且 A A. T T 1 1 T 2 若A可逆, 则A 亦可逆, 且 A A . 1 1 1 3 若A可逆, 数 0, 则 A可逆, 且 A A . 1 1 1

4 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且证明(5) A 1

AB B A A BB A AEA AA E , 1 1 1 1

( AB) 1 B 1 A 1

1

1

1 1 A . A

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§2.3 矩阵的初等变换与 矩阵的秩

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 矩阵的初等变换 等价矩阵 初等矩阵 矩阵的秩

11

2.3.1、矩阵的初等变换定义2.3.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

1 对调两行(对调 i, j 两行, 记作ri rj); 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;

3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri krj) .

(第 i 行乘 k , 记作 ri k )

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成 “c”). 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同. 1 ri rj 逆变换 ri rj ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

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2.3.2、等价矩阵定义2.3.2 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B.

等价关系的性质：(1) 反身性 A A;

(2) 对称性 若 A B ,则 B A; (3) 传递性 若 A B,B C ,则 A C .

用矩阵的初等行变换化简下述矩阵： 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r1 r2 B 4 6 2 2 4 r3 2 9 3 6 9 7 1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3 4 2 B 1 2 9

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1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3

4 2 B 1 2 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 4 0 B 3 6 3 4 3 B 5 3 0

4 r2 2 0 2 2 2 0 r3 2r1 B r3 5r2 2 0 5 5 3 6 r4 3r1 r4 3r2 0 3 3 4 3 1 1 2 1 4 r3 r4 0 1 1 1 0 r1 r2 B 4 0 0 0 1 3 r4 2r3 r2 r3 0 0 0 0 0 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.

r2 r3 1

1 2

1

1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 B 4 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.

1 0 0 0

0 1 0

4 1 1 0 3 B 5 0 0 1 3 0 0 0 0

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特点：1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (台阶数即是非零行的行数，阶梯线的 (2)每个台阶只有一行， 竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.

行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非零行的第 一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为零. 定理2.3.1 对于任何矩阵Am n , 总可经过有限次初等行 变换把它变为行阶梯形和行最简形.

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形.

15

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形.

1 0 0 1 4 例如：1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 c3 c4 0 1 0 1 3 B5 0 0 0 1 3 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 3 c 4c 3c 3c c4 c1 c2 5 1 2 3 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0

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特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零.

定理2.3.2 m n 矩阵A 总可经过初等变换化为 标准形 Er F O O O m n

此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数. 推论：如果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A经过有限次初等变 换可化为单位矩阵E,即A E .

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小结

1 ri r j ci c j ; 1.初等行(列)变换 2 ri k ci k ; 3 ri kr j ci kc j .

初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同. 2. A 初等变换 B

A~行阶梯形矩阵~行最简型矩阵~标准型

3.矩阵等价具有的性质 1 反身性; 2 对称性; 3 传递性.

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2.3.3、初等矩阵一、初等矩阵的概念矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.定义2.3.5 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.

三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去.

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1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj ),得初等方阵 1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1