2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二)

例3

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

图1 图2

解析

(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得a 1112．所以抛物线的解析式为y (x 4)(x 2) x x 4． 222

(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么

11MD ( m 4) (m2 m 4) m2 2m．所以 22

1S S MDA S MDB MD OA m2 4m (m 2)2 4． 2

因此当m 2时，S取得最大值，最大值为4．

(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4． 设点Q的坐标为(x, x)，点P的坐标为(x,12x x 4)． 2

①当点P在点Q上方时，(x x 4) ( x) 4．解得x 2 ．

此时点Q的坐标为( 2 （如图3），或( 2 （如图4）． ②当点Q在点P上方时，( x) (x x 4) 4．

解得x 4或x 0（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）． 122122- - 1

图3 图4 图5

考点伸展

在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？

如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．

图6 图7 图8

例4

在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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2

图1 图2

解析

(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．

(2) 因为OE＝2EB，所以xE 22xB 2，yE yB 4，E(2,4)． 33

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 b 5,1 解得k ，2 2k b 4.

b 5．所以直线DE的解析式为y

(3) 由y 1x 5． 21x 5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝ 2

55)，点N的坐标为(－5,)． 22①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,

②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．

③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．

由△NPO∽△DOF，得NPPONONPPO ，即．解得NP，DOOFDF510PO N的坐标为( ．

图3 图4

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考点伸展

如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6

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