空间解析几何与向量代数习题课

上课用的课件,讲得很详细。

第八章 空间解析几何与向量代数 习题课一、内容小结

二、实例分析

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一、主要内容

(一)向量代数 (二)空间解析几何

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(一)向量代数 向量概念向量的 线性运算 向量的 表示法

向量的积数量积 应用 向量积

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1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量 向量. 定义:既有大小又有方向的量称为向量 重要概念: 重要概念 向量的模、单位向量、 零向量、 向量的模 单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量 向量、 向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径 平行向量、 向径. 向量

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2、向量的线性运算r r r (1) 加法： a + b = c 加法： r r r (2) 减法： a b = d 减法：(3) 向量与数的乘法： 向量与数的乘法：

r br a

r r r a +b = c r r r a b = d

r r 是一个数， 设 λ 是一个数 ， 向量 a 与 λ 的乘积 λ a 规定为 r r r r (1) λ > 0, λa 与a 同向，| λa |= λ | a | 同向， r r ( 2 ) λ = 0, λ a = 0 r r r r ( 3) λ < 0, λa 与a 反向， | λa |=| λ | | a | 反向，

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3、向量的表示法 r r r r 向量的分解式： 向量的分解式： a = a x i + a y j + a z k r r r 在三个坐标轴上的分向量： 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k

r 向量的坐标表示式 坐标表示式： 向量的坐标表示式： a = ( a x , a y , a z )向量的坐标： 向量的坐标： a x , a y , a z 坐标

其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的 投影.

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向量的加减法、 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式

r λa = ( λa x , λa y , λa z ) r r r = ( λa x )i + ( λa y ) j + ( λa z )k

r r a = (a x , a y , a z ) b = (bx , b y , bz ) r r a + b = (a x + bx , a y + b y , a z + bz ) r r r = (a x + bx )i + (a y + b y ) j + (a z + bz )k r r a b = (a x bx , a y b y , a z bz ) r r r = (a x bx )i + (a y b y ) j + (a z bz )k

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r 2 2 2 向量模长的坐标表示式 | a |= a x + a y + a z向量方向余弦的坐标表示式

cosα = cos β =cos γ =

ax a x + a y + az ay2 2 2

a x + a y + az2 2

2

az a x + a y + az2 2 2

( cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 )

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4、数量积

(点积、内积) 点积、内积 点积

r r r r a b =| a || b | cosθ数量积的坐标表达式

r r 其 中θ 为 a 与 b 的 夹 角

r r a b = a x bx + a y b y + a z bz两向量夹角余弦的坐标表示式

cosθ =r r a ⊥b

a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az2 2 2

bx + b y + bz2 2

2

a x bx + a y b y + a z bz = 0

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5、向量积 (叉积、外积 叉积、 叉积 外积) r r r r r 其中 θ 为 a 与 b 的夹角 | c |=| a || b | sinθ r r r c 的方向既垂直于 a , 又垂直于 b , 指向符合右手系. 右手系向量积的坐标表达式

r r r r a × b = (a y bz a z by )i + (a z bx a x bz ) j r + ( a x b y a y bx ) k

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r i r r a × b = ax bxr r a // b

r j ay by

r k az bz

a x a y az = = bx b y bz

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(二)空间解析几何 空间直角坐标系一般方程 旋转曲面

曲线参数方程 一般方程 参数方程

曲面柱 面

直 线

平 面

二次曲面 一般方程

对称式方程 点法式方程

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1、空间直角坐标系z 竖轴

空间的点

定点 o 横轴 x

y 纵轴

( x, y, z )有序数组

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z

空 间 直 角 坐 标 系

o xy

共有一个原点,三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限. 共有一个原点 三个坐标轴,三个坐标面 八个卦限 三个坐标轴 三个坐标面,八个卦限

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两点间距离公式: 两点间距离公式设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

它们距离为

( x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2 + ( z2 z1 )2 M1 M 2 =

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2、曲面曲面方程的定义： 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程 有下述关系： F ( x , y , z ) = 0有下述关系：

(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； 上任一点的坐标都满足方程；

(2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 上的点的坐标都不满足方程；那么， 的方程， 那么 ， 方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程 ， 就叫做方程的图形. 而曲面 S 就叫做方程的图形

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研究空间曲面的两个基本问题： 研究空间曲面的两个基本问题： (1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 )已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. (2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状 )已知坐标间的关系式，研究曲面形状.

[1] 旋转曲面定义：以一条平面曲线绕 定义： 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面称之. 一周所成的曲面称之 这条定直线叫旋转曲面的轴 这条定直线叫旋转曲面的轴.

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方程特点: 方程特点

f ( x, y) = 0 设有平面曲线 L : z=0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x ,± y 2 + z 2 ) = 0 ( 2 ) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f (± x 2 + z 2 , y ) = 0

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[2] 柱面定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 定义： 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 L所形成的曲面 所形成的曲面. 所形成的曲面 这条定曲线叫柱面 准线， 的准线，动直线叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线