经济数学微积分 第二版第二章第六节无穷小的比较

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第六节

无穷小的比较

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一、无穷小的比较2 例如, 当x 0时, x , x , sin x 都是无穷小. x2 2 lim x 比3 x要快得多; 0, x 0 观 3x 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x 0 x 极 限 sin x sin x 1 lim 2 lim( ) x 0 x x 0 x x 0 ( 型) 0 sin x 比 x 2 要慢 .

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.

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定义: 设 , 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0. (1) 如果 lim 0,就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ); ( 2 ) 如果 lim ,就说 是比 低阶的无穷小. ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;

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(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.

例如，x2 lim 0, x 0 3 xsin x lim 1, x 0 x

即 x o( 3 x ) ( x 0).2

当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;

即 sin x ~ x ( x 0).

当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 .

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例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .

tan x sin x 解 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2 tan x sin x为x的三阶无穷小 .

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定理1 与 是等价无穷小的的充分 必要条件 为 o( ).称 是 的主要部分.

证

必要性 设 ~ , lim lim 1 0, o( ),即 o( ). 充分性设 o( ).

o( ) o( ) lim (1+ ) 1, lim lim ~ .

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意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式. 1 2 例如, 当x 0时, sin x ~ x , 1 cos x ~ x . 2 sin x x o( x ), 1 y x21 2 1 cos x x o( x 2 ). 22

y 1 cos x

常用等价无穷小:当x 0时,x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) 1 2 x x ~ e 1, 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2

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二、等价无穷小代换定理2(等价无穷小代换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .

证

lim lim( ) lim lim lim lim .

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tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x2

1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限.

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( x 1) sin x . 例4 求 lim x 0 arcsin x

解

当x 0时

, sin x ~ x , arcsin x ~ x .( x 1) x lim( x 1) 1. 原式 lim x 0 x 0 x

注意

不能滥用等价无穷小代换.

切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.

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tan x sin x 例5 求 lim . 3 x 0 sin 2 x错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.

x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )

解

当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,

1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16

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三、小结1. 无穷小的比较反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.

高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.

2. 等价无穷小的代换:求极限的又一种方法, 注意适用条件.

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思考题任何两个无穷小都可以比较吗？

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思考题解答不能.例当 x 时

1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x 故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.

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练 习 题一、 填空题： tan 3 x 1. lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2. lim =________. m x 0 (sin x ) ln( 1 2 x ) 3. lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4. lim =________. 2 x 0 x arctan x x n 5. lim 2 sin n =________. n 2

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(1 ax ) 1 6. lim =_________. x 0 x 3 7. 当x 0时, a x a ( a 0) 对于 x 是_______阶无穷小 . n 8. 当x 0时, 无穷小 1 cos x 与 mx 等价，则 m _______, n _______ .二、求下列各极限： tan x sin x 1. lim x 0 sin 3 x ; e e lim 2. ; sin x sin x 3. lim ; x 0 x

1 n

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tan x tan a . 4 lim . x a x a三、 证 明 ： 若 , ~ 0( ). 是 无 穷 小 ， 则

四、设 f(x)= lim

2 n x 2n 1 求：1、 f ( x )的表达式 . 2、确定 a , b 的值,使得 lim f ( x ) f (1),x 1

x

2 n 1

sin

x cos(a bx )

lim f ( x ) f ( 1) .

x 1

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练习题答案3 一、1. ; 2

0, m n 2. 1, m n ; 3. 2; , m n a 6. ; n

4. ;

5. x ;1 二、1. ; 2

7. 3;

1 8. , 2. 2

2. e ;

3. ; 4. sec 2 a .

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四、

sin 2 x x , x 1 1 cos(a b) , x 1 1. 2 1 cos(a b) , x 1 2 cos(a bx ), x 1 ; 2. a 2k ( k 0 , 1, ) , b 0 .