10.6 等势面 电势与电场强度的微分关系

物理

10.6 等势面

电势与电场强度的微分关系

电场中电势相等的点连成的面称为等势面) 电场中电势相等的点连成的面称为等势面 一、 等势面 (电场中电势相等的点连成的面称为等势面

1. 2.

v E ⊥ 等势面等势面密

指向电势降落的方向

v E大

等势面疏

v E小

物理

10.6 等势面 电势与电场强度的微分关系电场中电势相等的点连成的面称为等势面) 电场中电势相等的点连成的面称为等势面 一、等势面 (电场中电势相等的点连成的面称为等势面

u=u0/4

半球面

1. 2.

v E ⊥ 等势面等势面密

指向电势降落的方向

v E大

等势面疏

v E小

物理

求证: 求证

v E ⊥ 等势面

在等势面上移动dl 证明: 证明 q0 在等势面上移动 ,电场力做功为 v v dA = q0E dl = q0E cosθ dl

v Eq0

dA = q0du

q0 沿等势面移动

dA = 0

θ vdl

π θ= 2因此

v E ⊥ 等势面

物理

二、 电势与电场强度的微分关系v 移到Q 电场力做功： 把点电荷q0 从P 移到 ，位移 dl ,电场力做功： v v dA = q0E dl = q0E cosθ dl = qduu+duQ

E cosθ dl = duEl dl = dudu ∴ El = dl

u

θ

v dl

Elv E

P

电场强度在l 电场强度在 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值 在直角坐标系中： 在直角坐标系中：Ex =

u x

u Ey = y

u Ez = z

物理

v u v u v u v E = ( i + j + k ) = grad(u) x y z电场强度等于电势梯度的负值 均匀带电圆环半径为R,电量q 例 均匀带电圆环半径为 ，电量 求 轴线上电场分布。 轴线上电场分布。 解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq 建立如图坐标系， 轴线上电势分布 u = ∫ du = ∫q

dq

rR

o

P

x

0

q dq q = = 4πε0r 4πε0r 4πε0 R2 + x2

qx u ∴ E = Ex = = 2 2 3/ 2 π x 4 ε 0 (R + x )

物理

v u v u v u v E = ( i + j + k ) = grad(u) x y z某点的电场强度等于该点电势梯度的负值 例 已知 u = 6x 6x2 y 7z2 求 (2,3,0)点的电场强度。 点的电场强度。 点的电场强度 解

u Ex = = (6 12xy) = 66 xu u 2 Ey = = 6x = 24 Ez = = 14z = 0 y z v v v v v E = Exi + Ey j = 66i + 24 j