现代控制理论数学基础

现代控制理论基础 数学基础：主讲 丁立军

一：矢量空间的定义

矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。

x1 x2

x 例如： y 属于二维矢量空间， 属于n维矢量空

间。 x

n

当x属于某一矢量集V时，称x是V的元素， 即x∈V。

线性空间的定义：

如果V是非空的集合，P为数域，设V具有如下性质：

1：V中的元素定义有加法，使任何x,y∈V有z= x+y∈V，并且加法运算具有下列性质： 1) x+y= y+x

2) x+y+z=（x+y）+z

2：V中有这样的元素，称为零向量，记作0，它具有如下性质：

1)对任何x∈V，有x+0=0+ x= x

2)对任何x∈V，存在-x∈V，使x+（-x）=0，则

-x为x的逆元素。

3：在V中定义了数乘，使任何α∈P，x∈V，有αx∈V，且

1）α，β∈P，x∈V有（αβ）x=α（βx）

2)（α+β）x=αx+βx 3)α（x+y）=αx+αy 4) 1〃x=x

在上述条件下，称V为数域P上的线性空间，若P为复数域C（或实数域R）则V为C（或R）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。

二：空间的维数

1：空间矢量的线性相关性和线性无关性

设V是线性空间，x1,x2,…xm∈V,如果能找到一个数组(k1,k2, …km)≠(0,0, …0)，使k1x1+ k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性相关。

反之，如果仅当(k1,k2, …km)=(0,0, …0)，才有k1x1+ k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性无关。

例1：求矢量x=（1，1），y=（2，2）的线性相关性。

解：令k1x+ k2y=0，得：

k1 2k2 0

k1 2k2 0

即：

12 k1 12 k 0 2

有非零解，故x，y线性相关。

例2：求矢量x=（1，0），y=（0，1）的线性相关性。

k1 0解：令k1x+ k2y=0，得：

k2 0

故x，y线性无关。

例3：求矢量x=（1，4，1），y=（1，2，3），z=（1，3，6）的线性相关性。

解：令k1x+ k2y+ k3z =0，得：

111 k1 423 k 0 2 136 k3

其系数行列式：

111 423 0

236

故x，y，z线性无关。

定理一：设有n个矢量： a1=（a11，a12，…a1n） a2=（a21，a22，…a2n） …

an =（a n 1，a n 2，…a n n） 如果行列式：

a11

a21an1

a12a22

a1n a2n

0

an2 ann

则a1，a2…an必线性无关。

定理二：当m≥2时，矢量a1，a2…am线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。

定义：在线性空间V中，若存在n个元素a1，a2…an满足：

1）：a1，a2…an线性无关； 2）：V中的任一元素a总可由a1，a2…an线性表示，则称a1，a2…an为线性空间V的一个基，n称为V的维数，记为dimV=n。

维数为n的线性空间称为n维向量空间Vn，实n维列向量空间记为Rn，复n维列向量空间记为Cn。

2：矩阵的秩与矢量相关性的关系

（1）秩的定义：矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵A的秩记为rankA。若A为n阶方阵：

rankA<n，称A为降秩矩阵（奇异矩阵） rankA=n，称A为满秩矩阵（非奇异矩阵），此时 detA≠0。

（2）矩阵的秩与矢量相关性的关系

定理三：若rankA=r，则A中有r个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这r个行（列）矢量的线性组合。

定理四：n阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。

定理五：设A∈Rn×m，B∈Rm×s，则 rank（AB）≤min（rankA，rankB）。

（3）线性方程式的解与秩的关系

设线性方程组：a11x1+a12x2+…a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…a2nxn=b2 …

am1x1+am2x2+…amn xn=bm 可写成矩阵形式 AX=b 其中：

a11a12 a1n a a a222n A 21 aa am2mn m1

x1

x2 X

x n

b1 b2 b

b m

增广矩阵：

~

A Ab

定理六：线性方程组有解的充要条件是：

~

rankA rankA

定理七：线性方程组有唯一解的充要条件是：

~

rankA rankA r n

有无穷多个解的充要条件是：

~

rankA rankA r n

定理八：对于齐次方程组AX=0，当m<n时，必有非零解，当m=n时，有非零解的充要条件是系数行列式为零。

三：逆矩阵和矩阵的微分和积分

1：逆矩阵

对于非奇异矩阵A，存在着一个逆矩阵A-1， 使A A-1= A-1A=I。

逆矩阵具有如下性质：

(A-1)K=(AK)-1、 (A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1

其中AT、A*分别为A的转置矩阵和共轭转置矩阵。 若A、B均为非奇异矩阵，有(AB)-1=B-1A-1。

c21 cn1 c22 cn2

c2n cnn

cij为元素的aij余因子,cij ( 1)i j ij

c11 c

11 12A 1 adjA AA

c1n

例：设

0 12

A 3 1 2

10 3

求A-1。

解：|A|=17

3 17

36 4 7 1

adjA 7 32 ，故A

17

12 7 1

17

6

17 317217

4 17 2 17 7 17

2：矩阵的微分 设：

a11(t)a12(t) a1n(t) a(t)a(t) a(t)

222n ，A(t) 21

a(t)a(t) a(t)m2mn m1

11(t)a 12(t) a 1n(t) a

(t)a 22(t) a 2n(t) dA(t) a21 dt

a(t)a(t) a(t)m2mn m1

矩阵的微分法则：

ddA(t)dB(t)[A(t) B(t)] dtdtdtddA(t)dB(t)[A(t)B(t)] B(t) A(t)dtdtdtddA(t)dB(t)A(t)2 A(t) A(t)dtdtdtddA(t)A(t) 1 A(t) 1A(t) 1dtdt

3：矩阵的积分

设

a11(t)a12(t) a1n(t) a(t)a(t) a(t)

222n ，A(t) 21

a(t)a(t) a(t)m2mn m1 a11(t)dt

a21(t)dt 则： A(t)dt

a(t)dt m1

a

a

(t)dt

22(t)dt 2n(t)dt

am2(t)dt amn(t)dt

12

(t)dt

a

a

1n

四：格兰姆矩阵和格兰姆行列式

设x1,x2,…xn为m维向量空间V中的一组向量，下列n×n矩阵称为x1,x2,…xm的格兰姆矩阵G，其行列式detG称为格兰姆行列式。

(x1,x1)(x1,x2) (x1,xn) (x,x)(x,x) (x,x)

222n 21

(x,x)(x,x) (x,x)nnnn n n n1

G [(xi,xj)]n n

其中：

(xi,xj) xi(t)xj(t)dt

t0t1

T

定理：F(t)的列向量f1,f2,…fn线性独立的充要条件是它

们的格兰姆矩阵非奇异。

证明：充分性：设格兰姆矩阵非奇异，求证f1,f2,…fn线性无关。即：

ifi 0 （1） i 1

n

只有零解。（1）式左乘fjT(j=1,2,…n)，对t积分：

t1t0

fj ifidt 0

（2） i 1

T

n

即：

f1T

T t1

f2 n ifidt 0t0 i 1 fT n

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