3.5 线性方程组有解判别定理

高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)

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a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 设线性方程组 LLLLLLLLLL a x + a x +L + a x = b s2 2 sn n s s1 1其系数矩阵A和增广矩阵 其系数矩阵 和增广矩阵 A 分别为

(1)

a11 a21 A= L a s1

a12 a22 L as 2

L L L L

a11 a1n a2n A = a21 L , L a s1 asn

a12 a22 L as 2

L L L L

a1n b1 a2 n b2 L L a sn bs

§3.5 线性方程组有解判别定理

高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)

引入向量

a1n a11 a12 b1 a2 n a21 a22 b2 α1 = , α 2 = , L , α n = , β = M M M M a a b a s2 sn s1 n 于是( ) 于是(1)可表为 x1α1 + x2α 2 + L+ xnα n = β

∴ (1) 有解 β 可由向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性表出. 线性表出.

§3.5 线性方程组有解判别定理

高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)

线性方程组(1)有解的充分必要条件是 定理 线性方程组 有解的充分必要条件是 (1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等， 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等

R( A) = R( A).证：若(1)有解，则 β 可由 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性表出， 有解， 线性表出， 有解 等价， 于是向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n与α1 ,α 2 ,L ,α n , β 等价， 所以 R( A) = R( A).§3.5 线性方程组有解判别定理

高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)

反过来，若 R( A) = R( A) ,则 反过来，

rank {α1 ,α 2 ,L ,α n } = rank {α1 ,α 2 ,L ,α n , β }的一个极大无关组， 设 α i1 ,α i2 ,L ,α ir 为 α1 ,α 2 ,L ,α n 的一个极大无关组， 的极大无关组， 则 α i1 ,α i2 ,L ,α ir 也为 α1 ,α 2 ,L ,α n , β 的极大无关组， ∴向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 与 α1 ,α 2 ,L ,α n , β 等价， 等价， 线性表出， 从而 β 可由向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性表出， 所以，方程组 有解 有解. 所以，方程组(1)有解.§3.5 线性方程组有解判别定理

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总之，线性方程组(1)有解 R( A) = R( A). 总之， 线性方程组(1)有解 (1) 并且， (1)有唯一解 有唯一解； 并且，若 R( A) = R( A) = n, 则(1)有唯一解； (1)有无穷多个解 有无穷多个解. 若 R( A) = R( A) < n 则(1)有无穷多个解. 附

a11 L a1r 若 R( A) = R( A) = r , 且 r 级子式 L L L ≠ 0, ar 1 L arr

则方程组(1)与下面的方程组是同解的. 则方程组(1)与下面的方程组是同解的. (1)与下面的方程组是同解的 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLL a x + a x +L + a x = b r2 2 rn n r r1 1§3.5 线性方程组有解判别定理

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例1

讨论线性方程组

ax1 + x2 + x3 = 4 x1 + bx2 + x3 = 3 x1 + 2bx2 + x3 = 4 何时有解？何时无解？ 何时有解？何时无解？ 在有解的时候求出它的一般解. 在有解的时候求出它的一般解.

§3.5 线性方程组

有解判别定理

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解：因为方程组的系数行列式 a D= 1 1 b 1 1 = b(a 1).

1 2b 1所以当D ≠ 0时，即a ≠ 1, b ≠ 0时，方程组有唯一解，且为 2b 1 x1 = b(a 1) 1 x2 = b x = 1 + 2ab 4b 3 b(a 1) §3.5 线性方程组有解判别定理

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当D = 0时：1)若b = 0, 这时R( A) = 2,R( A ) = 3, 故原方程组无解.2)若a = 1, 这时增广矩阵 1 1 4 1 1 1 4 1 A = 1 b 1 3 → 0 b 1 0 1 1 2b 1 4 0 2b 1 0 0

1 所以当a = 1, b ≠ 时，R ( A) = 2, R ( A ) = 3, 原方程组无解. 21 而当a = 1, b = 时，原方程组有无穷多个解，且其解为 2 x1 = 2 k x2 = 2 , 其中k为任意常数. §3.5 k线性方程组有解判别定理 x3 =