离散数学及其应用课后习题答案

离散数学及其应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】

出下列命题是原子命题还是复合命题。（3）大雁北回，春天来了。（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。（5）张三和李四在吵架。解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.2

1. 指出下列命题的真值：

（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。解：该命题真值为t（因为命题的前件为假）。（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令p：天气好。q：我去公园。请将下列命题符号化。（2）只要天气好，我就去公园。（3）只有天气好，我才去公园。（6）天气好，我去公园。解：（2）p?q。（3）q?p。（6）p?q。

习题1.3

2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。（3）只要努力学习（p），成绩就会好的（q）。（6）我今天进城（p），除非下雨（q）。（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯我，我必犯人。解：（1）p?q。（3）p?q。（6）?q?p。（10）(?p??q)?(p?q)。

习题1.4

1. 写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。

解：该公式的真值表如下表：

2. 证明下列等价公式：

（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。证明：

?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)

（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。证明：

(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)

3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？

解：设a：甲成绩最好。b：乙成绩最好。c：丙成绩最好。d：丁成绩最好。四个人所说的命题分别用p、q、r、s表示，则

p??a；q??a??b??c?d；r??a?b??c??d；s??d。

则只有一人符合实际的命题k符号化为

k?(p??q??r??s)?(?p?q??r??s)?(?p??q?r??s)?(?p??q??r?s) p??q??r??s??a??(?a??b??c?d)??(?a?b??c??d)?d ??a?(a?b

?c??d)?(a??b?c?d)?d ?(?a?d)?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)

?(?a?b?c?d)?(?a?b?d)?(?a??b?c?d)?(?a?c?d)?0;

同理，

?p?q??r??s?a??a??b??c?d??(?a?b??c??d)?d?0; ?p??q?r?? s?a??(?a??b??c?d)??a?b??c??d?d?0; ?p??q??r?s?a??(?a?

?b??c?d)??(?a?b??c??d)??d ?a?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)??d ?a??d.

所以，当k为真时，a??d为真，即甲的成绩最好。

习题1.5

2. 证明下列各蕴含式：

（3）p?(q?r)?(p?q)?(p?r)。证明：

方法一：真值表法（列出命题公式(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))的真值表）。

方法二：等值演算法

(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))??(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))??(?p?(?q?r)) ??(?p?q)?(?p?r)?(p?q??r)?(p??q)?(?p?r)

?(p?q??r)?((p??p?r)?(?q??p?r))?(p?q??r)?(?q??p?r)

?(p??q??p?r)?(q??q??p?r)?(?r??q??p?r)?1.

方法三：分析法

（1）直接分析法：若前件p?(q?r)为真，分两种情况：

（i）p为假，则p?q为真，p?r为真，(p?q)?(p?r)为真。

（ii）p为真，则q?r为真，此时若q为真，则r为真，则p?q为真，p?r为

真，(p?q)?(p?r)为真；若q为假，则p?r为假，(p?q)?(p?r)为真。综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。

(2）间接分析法：若后件(p?q)?(p?r)为假，则p?q为真，p?r为假。由

p?r为假可知，p为真，r为假。再由p?q可知，q为真。此时q?r 为假，

p?(q?r)为假，即前件为假。故蕴含式成立。

5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。（1）如

果下雨，我不去。解：设p：天下雨。q：我去。

逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为?q?p。逆反式：如

果我去，天就不下雨。符号表示为q??p。（2）仅当你走我将留下。解：设p：我留下。q：你走。

逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为：q?p。逆反式：如果

你不走，我就不留下。符号表示为：?q??p。

习题1.6

2. 将下列命题公式用只含?和?的等价式表达，并要求尽可能简单。（1）(p?q)??p.

解： (p?q)??p?(p?? p)?q?0?q?0.（2）(p?(q??r))??p?q.

解： (p?(q??r))??p?q?(?p?(q??r))?(?p?q??r)

?p? q?

?p?q?

??p?q(?p??q

?p?)q?(?p?q?)q?(?r?)

?(p?q?)

?r?

?(?p?q)?(?p?q)?(?p?(?p?q)?(?p?q??r)??(p??q).

（3）?p??q?(?r?p).

(?p?q? ?r?

?p? q?

解：?p??q?(?r?p)??p??q?(r?p)

?(?p??q?r)?(?p??q?p)?(?p??q?r)?0 ??p??q?r??(p?q??r).

习题1.7

6．求下列命题公式的主析取范式和主合取范式：（1）

((p?q)?r)?p.

解：

((p?q)?r)?p??(?(p?q)?r) ?p?((p?q)??r)?p?(p?q?p)?(p??r)?(p? q?(r??r))?(p?(q??q)? ?r?(p?q?r)?(p?q??r)?(p?q?r)?(p?q??r)?

m0?m1?m3（主合取范式）

?m2?m4?m5?m6?m7.（主析取范式）

?(p?q)?(p ??r

?(p?q??r)(?p??q ?r??(p??q? ?r)

【篇二：离散数学最全课后答案(屈婉玲版)】

略

1.3．略

1.4．略

1.5．略

1.6．略

1.7．略

1.8．略

1.9．略

1.10．略

1.11．略

1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:

(1)2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2)2+2

＝4 的充要条件是 3+3?6. (3)2+2?4

与 3+3＝6 互为充要条件. (4)若

2+2?4, 则 3+3?6, 反之亦然.

(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

(2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.

(3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.

(4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:

(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今

天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一

当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则

明天是星期三.

令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三.

(1) p?q ??1.

(2) q?p ??1.

(3) p?q ??1.

(4) p?r 当 p ??0 时为真; p ??1 时为假.

1.14．将下列命题符号化.

(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.

(2)老王是山东人或河北人.

(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.

(5)李辛与李末是兄弟.

(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃

饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘

班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车

上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上

班. (11)下雪路滑, 他迟到了.

(12)2 与 4 都是素数, 这是不对的.

(13)“2 或 4 是素数, 这是不对的”是不对的.

(1)p?q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.

(2)p?q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.

(3)p?q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.

(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.

(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.

(6)p?q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.

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