信号与系统第三章答案2

3.36 已知LTI系统的微分方程如下：

y''(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t)

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f'(t)+f(t)

（1） 求系统的频率响应H（jw）和冲激响应h（t）； （2） 若激励f(t)=e-2tU(t)，求系统的零状态响应yf(t)。 解： 方程1：

y''(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t)

（1）对上式两边取傅里叶变换得：

(jw)2Y(jw)+4(jw)Y(jw)+3Y(jw)=F(jw)

11

Y(jw)11H(jw)====-F(jw)(jw)2+4(jw)+3(jw+3)(jw+1)(jw+1)(jw+3)

1

h(t)=F-1[H(jw)]=(e-t-e-3t)U(t)

2

（2）若激励f(t)=e-2tU(t)，系统的零状态响应yf(t)=f(t)*h(t)，或者

yf(t)=F-1[Y(jw)]=F-1[F(jw)gH(jw)]

由已知得：

1

F(jw)=

jw+2

Y(jw)=F(jw)gH(jw)=

11

jw+2(jw+3)(jw+1)

K3K1K2

=++

jw+2jw+3jw+1

用部分分式展开法：

K1=Y(jw)g(jw+2)K2=Y(jw)g(jw+3)

jw=-2

11=g(jw+2)jw+2(jw+3)(jw+1)=

11

gg(jw+3)jw+2(jw+3)(jw+1)

=-1

jw=-2

jw=-3

=

jw=-3

12

11

K3=Y(jw)g(jw+1)jw=-1=g(jw+1)

jw+2(jw+3)(jw+1)

所以

jw=-1

1=2

11

-1

Y(jw) =++

jw+2jw+3jw+1

yf(t)=F[Y(jw)]=(-e

方程2：

（1）对上式两边取傅里叶变换得：

-1-2t

1-3t1-t

+e+e)U(t) 22

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f'(t)+f(t)

(jw)2Y(jw)+5(jw)Y(jw)+6Y(jw)=(jw)F(jw)+F(jw)

Y(jw)1+jw1+jw21

H(jw)====-2

F(jw)(jw)+5(jw)+6(jw+3)(jw+2)(jw+3)(jw+2)h(t)=F-1[H(jw)]=(2e-3t-e-2t)U(t)

（2）若激励f(t)=e-2tU(t)，系统的零状态响应yf(t)=f(t)*h(t)，或者

yf(t)=F-1[Y(jw)]=F-1[F(jw)gH(jw)]

由已知得：

F(jw)=

1

jw+2

11+jw

Y(jw)=F(jw)gH(jw)=jw+2(jw+3)(jw+2)

K11K12K2

=++2

(jw+2)jw+2jw+3

采用部分分式展开法：

K11=Y(jw)g(jw+2)2

jw=-2

=-1

d2

K2=[Y(jw)g(jw+2)]=2

jw=-2dw

K3=Y(jw)g(jw+3)

即

jw=-3

=-2

-12-2

Y(jw) =++2

(jw+2)jw+2jw+3

根据傅里叶变换的性质：

d

-jtf(t)«F(jw)

dw

1

eU(t)«

jw+a

d1-j[=

dwjw+a(jw+a)2

d1-j-at

-jteU(t)«[]=

dwjw+a(jw+a)2

1-at

\ teU(t)«

(jw+a)2

-at

所以：

yf(t)=F[Y(jw)]=(-te

-1-2t

+2e

-2t

-2e)U(t)

-3t

3.42 如习题图3-23所示系统，已知输入信号f（t）的频谱为F（jw），

H2(jw)=g6(w)，试画出x(t),y(t)的频谱。

解：cos5t«p(d(w+5)+d(w-5)) 频谱图为

f1(t)=f(t)gcos5t

1F1(jw)=F(jw)*p[d(w+5)+d(w-5)]

2p1

=[F(jw)*d(w+5)+F(jw)*d(w-5)]

21

=[F(j(w+5))+F(j(w-5))]

2

f1(t)的频谱图为：

因为

x(t)=F-1[X(jw)]=F-1[F1(jw)gH1(jw)]

所以x(t)的频谱图为：

´

=

-1

-1

1

y(t)=(x(t)gcos3t)*F[H2(jw)]=F[X(jw)*p(d(w+3)+d(w-3))gH1(jw)]

2p

11

Y(jw) =X(jw)*p(d(w+3)+d(w-3))gH1(jw)=(X(j(w+3))+X(j(w-3)))gH2(jw)

2p2

所以y（t）的频谱图为：

´

=

3.48一个线性时不变系统的频率响应如习题图3-27所示，若输入

sin3tf(t)=cos5t，求 y(t)。

t

图3-27

sin3tsin3t

=3=3sa(3t)«pg6(w) t3t

（见课本P85）

ttgt(t)«tsa(w) 根据对称性： tsa(t)«2pgt(w)

22

cos5t«p[d(w+5)+d(w-5)]

f(t)=

sin3t1p

cos5t « pg6(w)*p[d(w+5)+d(w-5)]=[g6(w+5)+g6(w-5)]t2p2

频谱图为：

´

=

由频谱图可以得到Y（jw）的表达式为：

p2

Y(jw)=j[g4(w+4)-g4(w-4)]

4p

=g4(w)*jp[d(w+4)-d(w-4)]

4 p1

=2pg4(w)*jp[d(w+4)-d(w-4)]

42p

p

\ y(t)=4sa(2t)gsin4t=psa(2t)gsin4t

4

3.50 如习题图3-29所示系统，已知f(t)=

sin2t

，H(jw)=jsgn(w)，求输出y(t)。

pt

y(t)=f(t)gcos4t+f(t)*F-1[H(jw)]gsin4tY(jw)11F(jw)*p[d(w+4)+d(w-4)]+[F(jw)gH(jw)]*jp[d(w+4)-d(w-4)]2p2p

=Y1(jw)+Y2(jw)

sin2t2f(t)==sa(2t)« g4(w)

ptp

1Y(jw)=(g4(w+4)+g4(w-4))的图形为： 即1

2

j

求Y2(jw)=[F(jw)gH(jw)]*[d(w+4)-d(w-4)]：

2

jj1

F(jw)gH(jw)=g4(w)gjsgn(w)=-g4(w)gsgn(w)的图形为：

222

´

=

1

Y2(jw)=-g4(w)gsgn(w)*[d(w+4)-d(w-4)]的图形为

2

最后 Y(jw) =Y1(jw)+Y2(jw)的图形为

+

=

从图中可以得到：

Y(jw)=g2(w+5)+g2(w+5)=2

=sa(t)gcos5t

p

解法2：

Y(jw)=g2(w+5)+g2(w+5)1

Sa(t)«g2(w)p

21

pg2(w)*p(d(w+5)+d(w-5))p2p

根据傅里叶变换的频移特性：ejw0tf(t)«F(j(w-w0))1

\e-j5tSa(t)«g2(w+5)

p1

ej5tSa(t)«g2(w-5)

p

1-j5t1j5t-1

\ y(t)=F[Y(jw)]eSa(t)+eSa(t)

pp1

=Sa(t)[e-j5t+ej5t]

p2

=Sa(t)sin(5t)

p