18版高中数学第一章集合与函数概念章末分层突破学案新人教A版必

第一章集合与函数概念章末分层突破

[自我校对]

①确定性

②互异性

③描述法

④交集

⑤补集

⑥定义域

⑦图象法

⑧解析法

⑨奇偶性

1

2

合的运算一般运用定义或韦恩图；若集合中的元素是连续的(如用不等式表示的)，则用数轴法；特别地，若集合中含有参数，有时需要对参数进行讨论．

已知全集为U ＝R ，集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，M ＝{x |2x －a ＜

0}．

(1)求A ∩(?U B )；

(2)若(A ∪B )?M ，求实数a 的取值范围．

【精彩点拨】 (1)利用数轴，根据集合的基本运算即可求A ∩(?U B )；

(2)根据(A ∪B )?M ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．

【规范解答】 (1)因为A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，所以?U B ＝{x |x ≥3或x ≤0}，

则A ∩(?U B )＝{x |－1＜x ≤0}．

(2)A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，M ＝{x |2x －a ＜0}＝??????

????x ??? x <a 2，若(A ∪B )?M ，则a 2≥3，解得a ≥6，

则实数a 的取值范围[6，＋∞)．

[再练一题]

1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2

＋ax ＋6＝0}且B ?A ，求实数a 的取值范围. 【导学号：97030067】

【解】 ∵集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，且B ?A ，

∴B ＝?，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，

若B ＝?，则Δ＝a 2－24＜0，解得a ∈(－26，26)，

若B ＝{2}，B 中方程的常数项为4≠6，故不存在满足条件的a 值；

若B ＝{3}，B 中方程的常数项为9≠6，故不存在满足条件的a 值；

若B ＝{2,3}，则a ＝－5，

综上，实数a 的取值范围为{－5}∪(－26，26).

函数有三要素：究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．

3 (1)函数y ＝3x 2

1－2x ＋(2x ＋1)0

的定义域是________． (2)设集合A ＝??????0，12，B ＝??????12，1，函数f (x )＝????? x ＋12，x ∈A ，－x ，x ∈B ，若x 0∈A ，且

f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )

A.? ??

??0，14 B.? ????14，12 C.? ????14，12 D.????

??0，38 【精彩点拨】 (1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．

(2)先由x 0∈A 计算f (x 0)的值，依据f (x 0)的范围计算f (f (x 0))，由0≤f (f (x 0))<12

求x 0的取值范围．

【规范解答】 (1)∵函数y ＝

3x 21－2x ＋(2x ＋1)0，∴????? 1－2x >0，2x ＋1≠0， 解得x ＜12，且x ≠－12

， ∴函数的定义域是??????

????x ??? x <12，且x ≠－12. (2)∵x 0∈A ，

∴f (x 0)＝x 0＋12

∈B ， ∴f (f (x 0))＝f ? ????x 0＋12＝2? ????1－x 0－12， 即f (f (x 0))＝1－2x 0∈A ，

∴0≤1－2x 0<12，即14<x 0≤12

， 又x 0∈A ， ∴14<x 0<12

，故选C. 【答案】 (1)??????

????x ??? x ＜12，且x ≠－12 (2)C [再练一题]

2．已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，则f (x )＝______.

【导学号：97030068】

【解析】 因为f (3)＝f (－1)＝5，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝1，又y ＝f (x )的

4 最大值为13，所以可设f (x )＝a (x －1)2＋13，且a <0，由f (3)＝a (3－1)2

＋13＝5，解得a ＝－2，所以f (x )＝－2(x －1)2＋13，即f (x )＝－2x 2＋4x ＋11.

【答案】 －2x 2＋4x ＋11

大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况，函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．

已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c(a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52

，f (2)＝174

， (1)求a ，b ，c 的值； (2)试判断函数f (x )在区间? ??

??0，12上的单调性，并证明． 【精彩点拨】 (1)由函数是奇函数得到c ＝0，再利用题中的2个等式求出a ，b 的值．

(2)在区间? ??

??0，12上任取两个自变量x 1，x 2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．

【规范解答】 (1)∵f (－x )＝－f (x )，∴c＝0. ∵????? f

＝52，f ＝174，∴????? a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，

∴????? a ＝2，b ＝12. (2)∵由(1)可得f (x )＝2x ＋

12x ， ∴f (x )＝2x ＋12x 在区间? ????0，12上是单调递减的． 证明：设任意的两个实数0<x 1<x 2<12

. ∵f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋

12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋2－x 12x 1x ＝2－x 1－4x 1x 2

2x 1x 2.

又∵0<x 1<x 2<12

.

5 ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<14

，1－4x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0. ∴f (x )＝2x ＋12x 在区间? ??

??0，12上是单调递减的．

[再练一题]

3．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.

(1)若g(x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；

(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．

【解】 (1)g(x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g(－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3. ∵g(x )＝g(－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.

(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.

数形结合思想，使抽象的思维和形象思维相结合，把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形．

已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ，

(1)求函数f (x )在R 上的解析式；

(2)若函数f (x )在区间(－1，a －2)上单调递增，求实数a 的取值范围．

【精彩点拨】 (1)根据函数奇偶性，即可求函数f (x )在R 上的解析式；

(2)做出函数f (x )的图象，利用数形结合的思想即可求出a 的取值范围．

【规范解答】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )

于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x .

又f (0)＝0，

所以f (x )＝?

???? －x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0. (2)作出函数f (x )＝?????

－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0的图象如图：

则由图象可知要使f (x )在(－1，a －2)上单调递增，

6 则????? a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．

[再练一题]

4．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图象如图1­1所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．

【导学号：97030069】

图1­1

【解析】 不等式f (x )g (x )<0等价于f (x )与g (x )异号，如图所示：当x ＞0时，其解集为(0,1)∪(2,3)，∵y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，∴f (x )g (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )g (x )＞0，∴其解集为(－2，－1)．

综上，不等式f (x )g (x )<0的解集是{x |－2 …… 此处隐藏：3237字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……