2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲 圆的方程

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圆的标准方程【例1】求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.

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【解法 1】因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此二定点为直径端点的圆，于是解方程组 2x+y+4=0 11 2 2 , 得交点 A(- 5 ,), 利 2 5 B(-3,2). x +y +2x-4y+1=0

11 2 用圆的直径式方程得(x+ 5 )(x+3)+(y-5)(y-2)=0, 化 13 2 62 4 简整理得，(x+ 5 ) +(y-5) =5.

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【解法 2】令过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 交点的圆系方程为：2+y2+2x-4y+1+λ(2x x +y+4)=0, 即 x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0. 1 r=2 4 1+λ 2+ 4-λ 2-4 1+4λ 1 =2 8 2 16 5 λ-5 + 5 .

8 2 当 λ=5时，rmin= , 5 13 2 62 4 所求方程为(x+ 5 ) +(y-5) =5.

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【解法 3】令动圆的方程为：x2+y2+2(1+λ)x- (4-λ)y+1+4λ=0, 4-λ 圆心为(-(1+λ), 2 ),代入 2x+y+4=0,- 4-λ 8 2(1+λ)+ 2 +4=0,λ=5. 26 12 37 代入动圆的方程得 x +y + 5 x- 5 y+ 5 =0.2 2

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法一直接求出直线与已知圆的交点，以这 两个交点作为直径的端点时圆的半径最小.法 二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆 的方程，然后利用函数的思想求最值.法三从 垂径定理的角度出发，得到圆的圆心到已知直 线距离最小时所求圆的半径最小，此时圆面积 最小，所以当所求圆的圆心在直线2x+y+4=0 上时，圆的半径最小，面积最小.

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【 变 式 练 习1】 一 个 圆 与 y 轴 相 切 ， 圆 心 在 直 线 x- 3 y= 0 上 ， 且 在 直 线 y= x 上 截 得 的 弦 长 为 2 7 , 求此圆的方程.

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【 解 析 】 设 圆 的 圆 心 坐 标 为 O ( a, b ), 半 径 为 r . 因 为 圆 心 在 直 线 x- 3 y= 0 上 ， 所 以 a= 3 b . 又 圆 与 y轴 相 切 ， 所 以 r = a . 所 以 所 求 圆 的 方 程 可 设 为 ( x- 3 b ) + ( y- b ) = 3 b 2 2 2 2 2

因 为 圆 在 直 线 y= x 上 截 得 的 弦 长 为 2 所 以 圆 心 到 直 线 y= x的 距 离 d= | 2b | 2 解 得 b= 1 或 b= - 1 , 则 a= 3 或 a= - 3. = r 2

7

7 =2

9b 72

所 以 所 求 圆 的 方 程 为 ( x- 3 ) + ( y- 1) = 9 或 ( x+ 3 ) + ( y+ 1 ) = 9.2 2

2

2

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圆的一般方程【例1】 已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只 有一个，求a的值及圆的方程.

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【解析】设所求圆的方程为 x + y + D x+ E y+ F = 0 . 因 为 点 A、 B 在 此 圆 上 ， 所 以 E + F + 1 = 0 , ① 4 D + a E + F + a + 1 6 = 0, ② 又 知 该 圆 与 x 轴 ( 直 线 y= 0 ) 相 切 ， 所 以 由 = 0, D - 4 F = 0, ③2 2 2 2

由 ① 、 ② 、 ③ 消 去 E、 F 可 得 ： 1 4 (1 - a ) D + 4 D + a - a+ 1 6 = 0, ④2 2

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由

题意方程④有唯一解， 当 a= 1 时 ， D = - 4 , E = - 5 , F = 4 ; 当 a 1 时 ， 由 = 0 可 解 得 a= 0, 这 时 D = - 8 , E = - 1 7 , F = 1 6. 综 上 可 知 ， 所 求 a的 值 为 0 或 1. 当 a= 0 时 ， 圆 的 方 程 为 x + y - 8 x- 1 7 y+ 1 6 = 0; 当 a= 1 时 ， 圆 的 方 程 为 x + y - 4 x- 5 y+ 4 = 0 .2 2 2 2

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与坐标轴相切时圆的方程求解及其 参数的求解问题，方程形式选用要灵 活.如果已知圆心、半径或圆心到直线 的距离，通常可用圆的标准方程；如果 已知圆经过某些点，通常采用圆的一般 式方程.

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【变式练习2】 已知方程x2 +y2 -2(m+3)x+2(1-4m2)y +16m4+9=0表示的图形是一个圆. (1)当圆的面积最大时，求圆的方程； (2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数 m的取值范围.

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【 解 析 】 1 将 方 程 x + y - 2 ( m + 3) x+ 2 (1 - 4 m ) y+ 1 6 m + 9 = 0 2 2 2 4

化 为 ( x- m - 3) + ( y+ 1 - 4 m ) = - 7 m + 6 m + 1. 要使圆的面积最大，需半径最大 而 r = - 7 m + 6 m+1 = - 7 ( m-2 2

2

2

2

2

3 7

) +

2

16 7

,

它是一个一元二次函数，其图象的开口向下. 因为- 1 7 此 时 圆 的 方 程 为 ( x- 24 72

m 1 , 所 以 当 m=

3 7

时，r 取得最大值 13 49 ) =2

2

16 7

) + ( y+

16 72 2 4

2 当 且 仅 当 32

2

+ 4m

2

2

- 6 ( m + 3)+ 2 (1 - 4 m ) 4 m + 1 6 m + 9 0 3 4 时 ， 点 P在 圆 内 .

即 8 m - 6 m 0, 即 0 m

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与圆有关的轨迹问题【 例 3】 如 图 ， O 1与 O 2的 半 径 都 是 1 , O 1 O 2= 4 , 过 动 点 P 分 别 作 O 1、 O 2的 切 线 P M 、 P N ( M 、 N 分 别 为 切 点 ), 使 得 P M = 2PN, 试 建 立 适 当 的

坐 标 系 ， 求 动 点 P的 轨 迹 方 程 .

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【 解 析 】 以 O 1 O 2的 中 点 O 为 原 点 ， O 1 O 2 所 在 的 直 线 为 x轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 O 1 (- 2 , 0 ), O 2 2 , 0 , 由 已 知 PM = 2 PN, 得 PM = 2PN ,2 2

因 为 两 圆 的 半 径 均 为1 , 所 以 P O 1 - 1 = 2 ( P O 2 - 1). 设 P ( x, y ), 则 ( x+ 2 ) + y - 1 = 2[( x- 2 ) + y - 1], 即 ( x- 6 ) + y = 3 3 , 所 以 所 求 轨 迹 方 程 为 ( x- 6 ) + y = 3 3 ( 或 x + y - 1 2 x+ 3 = 0 ).2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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求轨迹方程的步骤通常可以简化为 (1)建系，设点； (2)列式； (3)化简.坐标系的选取决定着方程化简 的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹 方程，就假设那个点的坐标为(x,y),同 时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹.

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【变式练习 3】设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2 =4 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹.