高中数学 人教A版必修4 第3章 3.2简单的三角恒等变换

§3.2

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【学习要求】 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角本 课 2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公 时 栏 式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所 目 开 关 起的作用.

恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.

3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基 本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以 及三角恒等式的证明和一些简单的应用.

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【学法指导】 学习本节内容时，应在熟练掌握两角和与差的三角函数公式、二本 课 时 栏 目 开 关

倍角的三角函数公式的基础上，对公式进行适当变形，从而导出 积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式；学习的重 点是体会和感悟在推导这些公式中所蕴含的三角恒等变换基本 思想方法以及数学思想方法；应通过典型例题的学习和适量的训 练，体会和感悟三角恒等变换在三角函数式化简、求值以及三角 恒等式证明中的作用，掌握应用三角恒等变换解题的通性通法.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.2

1.半角公式本 课 时 栏 目 开 关

1-cos α α ± 2 (1)S :sin =_____________ ; 22

1+cos α α ± 2 (2)C :cos =_____________ ; 22

1-cos α α ± 1+cos α (3)T :tan =_____________ (无理形式) 22

1-cos α sin α sin α 1+cos α =__________( =__________ 有理形式).

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2.辅助角公式本 课 时 栏 目 开 关

使 asin x + bcos x = a2+b2 sin(x + φ) 成 立 时 ， cos φ b a 2 2 2 2 a + b = a +b ,sin φ= ,其中 φ 称为辅助角，它的终 边所在象限由 点(a,b) 决定.

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§3.2

探究点一本 课 时 栏 目 开 关

半角公式的推导

问题 1 试用 cos α 表示 sin

α α α 、cos 、tan . 2 2 2 2α 2α 2α 答 ∵cos α=cos 2-sin 2=1-2sin 2, 1-cos α 2α 2α ∴2sin 2=1-cos α,∴sin 2= , 2

1-cos α ; 2 1+cos α 2α 2α ∵cos α=2cos 2-1,∴cos 2= , 2 α ∴sin 2=±α ∴cos 2=± 1+cos α ; 2

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§3.2

1-cos α sin 1-cos α 2 2 α 2 ∵tan = = = , α 2 1 + cos α 1 + cos α cos2 2 2 本2α

课 时 α 栏 目 ∴tan 2=± 开 关

1-cos α . 1+cos α

研一研·问题探究、课堂更高效1-cos α α sin α 问题 2 证明：tan = = . 2 1+cos α sin α本 课 时 栏 目 开 关

§3.2

答

α α 2sin 2cos 2 sin α α ∵ = =tan 2, α 1+cos α 2cos22

α sin α α 1-cos α ∴tan 2= ,同理可证 tan 2= sin α . 1+cos α 1-cos α α sin α ∴tan 2= = sin α . 1+cos

α

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探究点二本 课 时 栏 目 开 关

积化和差与和差化积公式的推导

根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin(α+β)+sin(α-β)= 2sin αcos β ②sin(α+β)-sin(α-β)= 2cos αsin β ③cos(α+β)+cos(α-β)= 2cos αcos β ; ; ;

④cos(α+β)-cos(α-β)= -2sin αsin β .

研一研·问题探究、课堂更高效问题 1

§3.2

由上述①~④这四个等式不难得出下列四个对应的积

化和差公式，请你试一试写出这四个公式：本 课 时 栏 目 开 关

1 [sin(α+β)+sin(α-β)] 2 sin αcos β=________________________ ; 1 [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 cos αsin β=________________________; 1 [cos(α+β)+cos(α-β)] 2 cos αcos β=________________________;1 -2[cos(α+β)-cos(α-β)] sin αsin β=________________________.

研一研·问题探究、课堂更高效问题 2

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在上述①~④这四个等式中，如果我们令 α+β=θ,α θ+φ θ- φ -β=φ,则 α=________ ,β= ,由此可以得出四个相 2 2 应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：

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θ+φ θ-φ 2sin 2 cos 2 sin θ+sin φ=_____________________ ;θ+φ θ-φ 2cos 2 sin 2 sin θ-sin φ=_____________________;θ+φ θ-φ 2cos 2 cos 2 cos θ+cos φ=_____________________; θ+φ θ-φ -2sin 2 sin 2 cos θ-cos φ=_____________________.

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探究点三

辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)

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使 asin x + bcos x = a2+b2 sin(x + φ) 成 立 时 ， cos φ = a b 2 2,sin φ= 2 2,其中 φ 称为辅助角，它的终边所 a +b a +b 在象限由点(a,b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质 中有着重要的应用.

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问题 1 将下列各式化成 Asin(ωx+φ)的形式， 其中 A>0, ω>0, π |φ|< . 2 π 2sin x+4 (1)sin x+cos x=_____________ ; π 2sin x-4 本 (2)sin x-cos x=_____________ ;课 时 栏 目 开 关

(3) 3sin x+cos (4) 3sin x-cos (5)sin x+ 3cos (6)sin x- 3cos

π 2sin x+6 x=_____________ ; π 2sin x-6 x=_____________ ; π 2sin x+3 x=_____________ ; π 2sin x-3 x=_____________.

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问题 2 请写出把 asin x+bcos x 化成 Asin(ωx+φ)形式的过程. 答 asin x+bcos x本 课 时 栏 目 开 关

= a +b

2

2

a b sin x + cos x a2+b2 a2+b2

= a2+b2(sin xcos φ+cos xsin φ) = a2+b2sin(x+φ) b a (其中 sin φ= 2 2,cos φ= 2 2). a +b a +b

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、课堂更高效【典型例题】

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1 α α α 例 1 已知 cos α= ,α 为第四象限角，求 sin 、cos 、tan . 3 2 2 2 1 1-3 1-cos α α 3 解 sin 2=± =± =± 3 , 本 2 2 课时 栏 目 开 关

α cos 2=± α tan 2=±

1+cos α =± 2 1-cos α =± 1+cos α

1 1+ 3 6 2 =± 3 , 1 1- 3 2 1=± 2 . 1+3

α ∵α 为第四象限角，∴2为第二、四象限角.

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α 当 为第二象限角时， 2α 3 α 6 α 2 sin2= 3 ,cos2=- 3 ,tan2=- 2 ; α 本 课 当2为第四象限角时， 时 栏 目 sinα=- 3,cosα= 6,tanα=- 2. 2 3 2 3 2 2 开 关小结 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确 θ 定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan ,还要注 2 1-cos θ θ sin θ 意运用公式 tan = = 来求值. 2 1+cos θ sin θ

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§3.2 研一研·问题探究、课堂更高效 3 θ 跟踪训练 1 已知 cos θ=- ,且 180° <θ<270° ,求 tan . 5 2 θ 解 方法一 ∵180° <θ<270° ,∴90° <2< …… 此处隐藏：2934字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……