函数与导数综合训练(选自最新的高三模拟试卷,2012江苏高考试卷)

函数与导数练习

1若不等式|

|≥1对任意

都成立，则实数取值范围是 ▲

2已知为正实数，函数

，求

时，解不等式

的单调区间.

（为自然对数的底数）.

（1） 若（2） 当（3） 求函数

的取值范围；

；

3（本小题满分16分）

已知函数（1）若对任意

，都有

，a∈R．

恒成立，求a的取值范围；

（2）设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上

轴上，求a的取值范

总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在围．

4．已知函数

（1）设P，Q是函数

．

图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；

在

上恒成立

（2）求实数的取值范围，使不等式

5（本小题满分16分）

已知函数＝＋，a≠0且a≠1．

（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间； （2）已知当x＞0时，函数在(0，

)上单调递减，在(

，

上单调递增，求a

的值并写出函数的解析式；

（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

6（本小题满分16分）已知函数(1)若(2)若

时,试求函数,且曲线

的单调递减区间;

在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线

上，

证明：A、B 两点的横坐标之和小于4； (3)如果对于一切

、

、

，总存在以

、

、

为三边长的三角

形，试求正实数的取值范围。

7已知函数（1）若

，不等式

；

的导函数。

恒成立，求a的取值范围；

（2）解关于x的方程

（3）设函数

，求时的最小值；

8（2012江苏高考）18（本小题满分16分） 已知a，b是实数，1和（1）求a和b的值； （2）设函数（3）设

的导函数

，其中

，求

的极值点；

的零点个数．

是函数

的两个极值点．

，求函数

．1

（用分离参数法简单

3解：（1）由

，得

．

由于，，且等号不能同时取得，所以．

从

而恒成立

，

． ………………………………………4分

设．求导，

得

．………………6分

，

从而所

，以

在

，

上为增函数．

，

所

以

．…………………………………………………8分

（2）

假设曲线则

设上存在一点

为曲线上的任意一点．

，使∠POQ为钝角，

．………………………………………………………………………

…10分 ① 若t≤-1，由于当t=－1时，

，

恒成立，

恒成立．

，．

=

．

当t<－1时，

12分

② 若则

，=

，

恒成立．由于，所以a≤0. ………

，，

，

对

，恒立． ……………………………………………14分 ③ 当t≥1时，同①可得a≤0． 综

上

所

述

，

a的取值范围

． ………………………………………………16分

4 解：（1）由题意，得．

所以函数

在R上单调递增．

设

，，则

有，

． ………………………………6分 （

2

）

当

时

，

恒

立．………………………………………8分

当时，令

，

．

①当，即

时，，

所以在上为单调增函数．

所

以，

符

合

意． ……………………………10分

②当，即

时，令

，

于是． 因为，所以，从而

．

所以在上为单调增函数． 所以

，即

， 成

是

即

成

题

亦

．……………………………………………………………12分 （i）当所以

14分

（ii）当当从而综

上

所

述，即时，有

时，存在，此时

，不能使，

实

数

在恒成立．

的

取

值

范

围

，使得

上为单调减函数，

在

，即

时，

，

即

上为单调增函数．于是，符合题意．…………

为

．……………………………………………………16分 5解析：（1）①当a＜0时，函数

②当0＜a＜1时，函数③当a＞1时，函数

的单调增区间为(

，0)，(0，，

)，(

，0)，(0，；

，

． )；

的单调增区间为的单调增区间为

＝

（2）由题设及（1）中③知，且a＞1，解得a＝3

，因此函数解析式为

＝＋( x≠0)．

（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称

轴，故可设l：y＝kx(k≠0)．

设P(p，q)为曲线C上的任意一点，

与P(p，q)关于直线l对称，且p≠

，

q≠，则也在曲线C上，由此得＝，＝，且q＝＋

，

＝＋，整理得k＝，解得k＝或k＝．

所以存在经过原点的直线y＝6

及y＝为曲线C的对称轴．

7(1)因为

又因为

，所以，

，

所以在时恒成立，因为，

所以⑵ 因为

所以①当②当所以

③当

．……………………………………………………………………………4分

，所以

，则

时，

时，或时，

或，所以，所以

或

； 或

．…………………………10分

或

， ，

或

；

． ……………7分

⑶因为，

① 若从而

，则的最小值为

时，，所以，

； ………………………………12分

②若，则时，，所以，

当当当

时，时，时，

的最小值为的最小值为

， ，

．…………………………………14分

的最小值为

③若当当

，则时，时，

时，最小值为最小值为

；

．

因为，，

所以最小值为

．综上所述，

…………………………………………16分

20．⑴因为

为等差数列，设公差为

，由

，