2019学年九年级数学下册第3章投影与视图本章总结提升同步练习新

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投影与视图

本章总结提升

问题1 投影的应用

什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么性质？

例1 图3－T－1是住宅区内的两幢楼的示意图，它们的高AB＝CD＝30 m，两楼间的距离AC ＝30 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．

(1)当太阳光与水平面的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1 m，3

≈1.73)；

(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳光与水平面的夹角为多少度？

图3－T－1

【归纳总结】投影的应用：

投影有平行投影与中心投影，由于平行投影的光线是平行的，因此它常与平行、相似等知识综合考查．中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，可以构成位似图形．

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问题2 简单物体的三视图

什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？

例2 画出如图3－T－2所示的立体图形的三视图．

图3－T－2

【归纳总结】简单物体的三视图：

画一个几何体的三视图时，要从三个方向观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．几何体因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线．

问题3 由三视图描述几何体

立体图形与三视图、展开图之间有何关系？

例3 在平整的地面上有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图3－T－3所示．

(1)请画出这个几何体的三视图；

(2)如果此时在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有________个正方体只有一个面是黄色，有________个正方体只有两个面是黄色，有________个正方体只有三个面是黄色；

(3)若现在还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？

图3－T－3

【归纳总结】由三视图描述几何体：

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由三视图想象几何体的形状可从如下途径分析：

(1)根据主、俯、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高．

(2)由实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线．

问题4 直棱柱、圆锥的侧面展开图

常见的直棱柱、圆锥的侧面展开图分别是怎样的？

例4 阅读材料：

图3－T－4

如图3－T－4，将一个直角三角形AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．

圆锥的底面是以OB为半径的一个圆形．

圆锥的侧面展开图是一个以点A为圆心，斜边AB的长为半径的扇形，Rt△AOB的斜边AB称为圆锥的一条母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．

S圆锥表面＝S圆锥的侧面＋S圆锥的底面．

阅读后，请解答下面的问题：

从卡纸上剪下半径是30 cm(母线长l＝30 cm)的扇形，做一个圆锥形纸盒，圆锥的底面⊙O 的直径是20 cm(如图3－T－5所示)．

(1)求圆锥的底面⊙O的周长；

(2)求剪下的扇形的圆心角的度数；

(3)求圆锥的表面积．

图3－T－5

【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”：

(1)分析清楚几何体表面的构成；

(2)弄清圆锥与其侧面展开图(扇形)各元素之间的对应关系；

(3)圆锥的母线长l，底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为l2＝r2＋h2；

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(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和．

问题5 三视图在实际生活中的应用

根据三视图求物体的表面积和体积的关键是什么？如何根据三视图描述几何体？

例5 图3－T－6是一个物体的三视图，根据设计图纸上标明的尺寸(单位：mm)计算物体的表面积和体积．

图3－T－6

【归纳总结】三视图在实际生活中的应用：

根据设计图纸中三视图及尺寸求零件的表面积和体积，这是三视图在实际生活中的主要应用，也是日常生产中经常遇到的问题．解决这类问题的方法是首先由三视图想象出几何体的形状，再画出其表面展开图，然后根据图中尺寸利用相应公式进行计算．

教师详解详析

【整合提升】

例1[解析] (1)如图，通过投影的知识，结合题意构造Rt△BEF，设BF＝x m，解此直角三角形可得x的值；由此可得EC的长，即甲楼的影子在乙楼上的高度．

(2)要使甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，易得△ABC为等腰三角形，且AC＝30 m，容易求得当太阳光与水平面夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上．

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解：(1)如图所示，延长QB交DC于点E，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则EF＝AC＝30 m. 在Rt△BEF中，

∵∠FEB＝30°，

∴BE＝2BF.

设BF＝x m，则BE＝2x m.

根据勾股定理，得BE2＝BF2＋EF2，

∴(2x)2＝x2＋302，

∴x1＝10 3，x2＝－10 3(舍去)，

∴x≈17.3.

因此，EC≈30－17.3＝12.7(m)．

即甲楼的影子在乙楼上的高度约为12.7 m.

(2)如图，当甲楼楼顶的影子刚好落在点C处时，△ABC为等腰三角形，

因此，当太阳光与水平面的夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上．

例2[解析] 该几何体的主视图是长方形中间挖去一个小长方形，左视图是长方形(中间带一条虚线)，俯视图是圆(中间有两条实线)．

解：如图所示．

[点评] 画一个物体的三视图，其位置规定：主视图在左上方，它正下方是俯视图，左视图放在主视图的右边．

例3[解析] (2)只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共1个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个．解：(1)如图所示：

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(2)123

(3)最多可以再添加4个小正方体．

例4 解：(1)由题意可得，圆锥的底面⊙O 的周长是20πcm .

(2)设剪下的扇形的圆心角是n °，由题意，得n π×30180

＝20π，解得n ＝120，即剪下的扇形的圆心角的度数是120°.

(3)由题意可得，圆锥的表面积是π×? ??

??2022

＋120π×302360＝400π(cm 2)，即圆锥的表面积是400πcm 2.

例5[解析] 由三视图可看出：物体是由上、下两个半径不同的圆柱组成的，其立体图形如图所示．

解：物体形状如图所示．上面小圆柱的底面直径为4 mm ，高为2 mm ，下面大圆柱的底面直径为8 mm ，高为8 mm .

物体体积V ＝π×? ????822×8＋π×? ??

??422×2＝136π(mm 3)， 物体表面积S 表＝8π×8＋4π×2＋2×π×? ??

??822＝104π(mm 2)． 即物体的表面积为104πmm 2，体积为136πmm 3

.