哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题及答案

高等数学期末考试试题（4）

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

a1、已知向量、b满足a b 0，a 2，b 2，则a b

3z

2、设z xln(xy)，则 2

x y

3、曲面x2 y2 z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为．

4、设f(x)是周期为2 的周期函数，它在[ , )上的表达式为f(x) x，则f(x)的傅里叶级数 在x 3处收敛于 ，在x 处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

(x y)ds ．

L

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

222

2x 3y z 9

1、 求曲线 2在点M0(1, 1,2)处的切线及法平面方程． 22

z 3x y

2、 求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积．

3、 判定级数

2

2

2

2

( 1)nln

n 1

n 1

是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ n

x z 2z

4、 设z f(xy,) siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,

y x x y

5、 计算曲面积分

dS2222

其中是球面被平面z h(0 h a)截出的顶部． ,x y z a z

三、（本题满分9分）

抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、 （本题满分10分）

计算曲线积分

L

(exsiny m)dx (excosy mx)dy，

其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax(a 0)．

五、（本题满分10分）

xn

求幂级数 n的收敛域及和函数．

3 nn 1

六、（本题满分10分）

计算曲面积分I

332

2xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy，

2

2

其中 为曲面z 1 x y(z 0)的上侧．

七、（本题满分6分）

设f(x)为连续函数，f(0) a，F(t)

222

z

[z f(x y z)]dv，其中是由曲面

t

t

与z 所围成的闭区域，求 lim

t 0

F(t)

． t3

2012高等数学期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、 4； 2、 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1

；3、2x 4y z 14； 4、3，0； 5

y2

dz dy

3y z 2x dy5xdz7x dxdx1、解：方程两边对x求导，得 ， 从而，…………..【4】

dx4ydx4z ydy zdz 3x

dx dx 571

该曲线在 1, 1,2 处的切向量为T (1,,) (8,10,7).…………..【5】

488

故所求的切线方程为

x 1y 1z 2

………………..【6】

8107

法平面方程为

8 x 1 10 y 1 7 z 2 0 即 8x 10y 7z 12……..【7】

z 2x2 2y2

2222

２、解： ，该立体在面上的投影区域为 xOyx y 2D:x y 2．…..【2】xy22

z 6 x y

故所求的体积为V

dv d

2 0

d

6 22 2

dz 2 0

(6 3 2)d 6 ……..【7】

11n

３、解：由limnun limnln(1 ) limln(1 ) 1 0，知级数 un发散…………………【3】

n n nn nn 1

又|un

111

【7】 | ln(1 ) ln(1 ) |un 1|,lim|un| limln(1 ) 0.故所给级数收敛且条件收敛．

n n nn 1n

z11 ４、解： (f1 y f2 ) 0 yf1 f2 ， …………………………………【3】

xyy

1x 2zx11x

2f2 3f22 .【7】 x f12 ( 2)] 2f2 [f21 x f22 ( 2)] f1 xyf11 f1 y[f11

yy x yyyyy

５、解：

的方程为z 在xOy面上的投影区域为Dxy {(x,y)|x2 y2 a2 h2}．

…..………【３】

2 dSadxdy

2 a

d 故 2200zDxya x y

d 122 2 a ln(a ) 22 a 2 0

a

2 aln..【7】

h

三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M

到原点的距离为d

令L(x,y,z) x

2

【1】

y2 z2 (z x2 y2) (x y z 1)，

Lx 2x 2 x 0

L 2y 2 y 0y 1

Lz 2z 0，解得x y

则由 z 2

2 z x2 y2

x y z 1

M1M2…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故dmax

|OM2| dmin |OM1| ……【9】

四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2

而I1

xx2

．………………【5】 (esiny m)dx (ecosy mx)dy md ma 8DL OA

(exsiny m)dx (excosy mx)dy m dx ma…………【8】

a

L(exsiny m)dx (excosy mx)dy I2 I1 ma

8

ma2. ………………………【10】

an 1n3n1

lim R 3，收敛区间为 ( 3,3)…………【2】 五、【10分】解： lim

n an n 13n 13n

1 ，收敛．……【4】 1

又当x 3时，级数成为 ，发散；当x 3时，级数成为

nn 1n 1n

n

故该幂级数的收敛域为

3,3 ………【5】

xn

令s x n（ 3 x 3），则

n 1n3

xn 11 xn 1111

, (|x| 3) ……【8】 s (x) n ()

3n 1331 x/33 xn 13

于是s(x)

x0

s (x)dx

xdx

（ 3 x 3）………………….【10】 ln 3 x 0 ln3 ln 3 x ，

03 xx

22

六、【10分】解：取 1为z 0(x y 1)的下侧，记 与 1所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，

有I2

1

2x3dydz 2y3dzdx 3 z2 1 dxdy 6 x2 y2 z dv………….… 【5】

而I1

6 d d

2 1

1 20

2

z dz 2 …………………….…【7】

2x3dydz 2y3dzdx 3 z2 1 dxdy 3 z2 1 dxdy 3

1

1

x2 y2 1

dxdy 3 ….… 【9】

I I2 I1 2 3 .…………………….… 【10】

七、【6分】解：F t

2 02

r2dr….… 【2】 d 4sin d rcos fr 00

t

tt 32244

2 sin cos d rdr sin d

f r rdr

0000

t4

2 8

22

rfrdr….… 【4】 0

t

t3 2 t2f(t2)

F

t 2 2 limf(t2) 2 a. 【6】

故lim3 limt 0 tt 0 t 0 3t233