第六章 z变换与离散系统的频域分析

信号与系统 一 引言

第六章 z变换域离散系统的频域分析

z变换是求解差分方程的有力工具，类似与连续时间系统中的拉普拉 斯变换； 在离散时间系统中，z变换是一种重要的数学工具。它把离散时间系 统的数学模型转化成了简单的代数方程，使其求解过程得到了简化； 早在18世纪对此数学规律已有初步的认识，20世纪50~60年代数 字计算机的广泛应用和抽样数据控制系统的出现推动了这一方法研究 的进展。 从后续课程和科学研究工作来看， 变换主要用于数字滤波器的分析 与设计以及各种类型的数字信号处理问题(如语音信号、地震信号… 处理)。

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二

定义的引出

连续信号的理想抽样信号为：x s ( t ) x( t ) T ( t ) n

x(nT ) (t nT )x( nT )e snT

LX s ( s ) L { x s ( t )} n

z 1 e sTX s ( s) x( nT ) z n

T 1

n

X (z)

n

x ( n) z n

信号与系统

第六章 z变换域离散系统的频域分析

三

Z变换的定义

双边Z变换

X ( z ) Z x n

n

x ( n) z n

单边Z变换

X ( z ) Z x n x( n) z nn 0

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信号与系统Z

第六章 z变换域离散系统的频域分析

f n F z F ( z ) Z f n 说明因果序列 x(n)的单边和双边Z变换相同;

单边和双边Z变换的区别：单边Z变换只有在少数 几种情况下与双边Z变换有所区别。比如，需要考虑序 列的起始条件，其它特性则都和双边 Z变换相同; 在连续时间系统中，非因果信号的应用较少，所以 拉式变换中着重讨论单边拉式变换。但是对于离散时 间系统，非因果序列也有一定的应用范围，因此将着 重单边适当兼顾双边Z变换分析。北京理工大学珠海学院信息科学与技术学院

信号与系统 一 收敛域定义

第六章 z变换域离散系统的频域分析

问 题 并非任何信号的Z变换都存在； 并非Z平面上的任何复数都能使X(Z)收敛，

Z平面上能使X(Z)收敛的点的集合就构成了X(Z)的收敛域；

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信号与系统 1

第六章 z变换域离散系统的频域分析

定义使 X (z) x ( n) z n 级数收敛的所有z值称为

X (z ) 的收敛域。单边 Z 变换

n

序列x(n)与变换式 X(Z)一一对应，只有一 种可能的收敛域； 不同序列在不同收敛条件下，可有同样z变换 式。因此必须注明收敛域，否则容易引起混淆;北京理工大学珠海学院信息科学与技术学院

双边 Z 变换

信号与系统 2

第六

章 z变换域离散系统的频域分析

Z变换存在的条件使 X (z) x ( n) z n 级数收敛的的条件是：

满足绝对可和的条件，即：

n

n

x ( n) z n n

对于实数序列： x( n) z n

n

x ( n) z

n

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信号与系统 3

第六章 z变换域离散系统的频域分析

推导e sT z e ( j )T re j j S平面

j Im z r e T

T

r 1

z平面

0

r0

Re z

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信号与系统 4 定理

第六章 z变换域离散系统的频域分析

若序列 f n 在有限区间 M n N(M,N为整数) 上有界，且对于正实数 , 满足以下指数阶条 件： lim f n n 0, lim f n n 0 ,则在环形区n n

域 z 内 f n 的双边z变换式X ( z ) 绝对且一致收敛，F z 存在。

n

x ( n) z n

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信号与系统 二

第六章 z变换域离散系统的频域分析

典型序列的收敛域

序

列

有限长序列 右边序列 左边序列 双边序列

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信号与系统

第六章 z变换域离散系统的频域分析

1

有限长序列X (z)

只在有限的区间具有非零 的有限值

n n1

x ( n) z

n2

n

收敛域

0 z 且可能包括 z 或 z 0 ,由序列的 形式所决定。 n1 0, n2 0 0 z n1 0, n2 0 0 z n 0, n 0 0 z 2 1北京理工大学珠海学院信息科学与技术学院

信号与系统

第六章 z变换域离散系统的频域分析

求

例题 x n R N n 的z变换及其收敛域。RN n z n z n n 0 N 1

X z

n

1 z N 1 1 z

这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为：0 z

但 z 1 是 X z 的极点，但同时分子多项式在时也 有一个零点，极零点对消， 在单位圆上仍存在。北京理工大学珠海学院信息科学与技术学院

2

右边序列x ( n) z n

右边序列在 n n时，序列值不全为零， 1 而其它 n n1 ,序列值全为零 1

X (z)

n n1

n n1

x n z

n

x n z nn 0

第一项为有限长序列，设 n1 1, 其收敛域为 0 z

第二项是z的负幂级数，根据阿贝尔定 理存在一个收敛半径为 R ,级数在以 x 原点为中心，以 R 为半径的的圆外都 x 绝对收敛。即收敛域为 R z ,

R x 为最小收敛半径

x

将两收敛域相与，其收敛域为 R z x 如果是因果序列，式中没有z的正幂项，收敛域为R z x

信号与系统

第六章 z变换域离散系统的频域分析

收敛域

右边序列的收敛区是以 R x 为收敛半径的圆 外， x z R 若为因果序列在 点处收敛，收敛域为Rx z

求

例题 x n a n u n 的Z变换及其收敛域。北京理工大学珠海学院信息科学与技术学院

信号与系统X (z)

第六章 z变换域离散系统的频域分析 n

n

a u n zn

a zn 0

n n

azn 0

1 n

1 1 az 1

az 1 1 ,因此收敛域为 z a 在收敛域中必须满足

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3

左边序列X (z) n2

右边序列在 n n时，序列值不全为零， 2 而其它 n n2 ,序列值全为零

n

x ( n) z n

n

x( n) z n x n z n n 1

0

n2

第一项是z的正幂级数，根据阿贝尔定 理存在一个收敛半径为 R ,级数在 x 以原点为中心，以 R 为半径的的圆 x 内都绝对收敛。即收敛域为 z R ,

第二项为因果有限长序列， 2 0, n 其收敛域为 0 z

R x 为最大收敛半径

x

将两收敛域相与，其收敛域为 0 z R x 若 n2 0 ,没有第二项，收敛域为 z Rx