影子价格的经济意义

清华大学 运筹学课件

影子价格的经济意义

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影子价格Y*---原问题线性规划对偶模型中对偶变量的最 原问题线性规划对偶模型中对偶变量的最 影子价格 优解. 优解 一般在求解原问题线性规划模型最优解时,其对偶模型的 一般在求解原问题线性规划模型最优解时 其对偶模型的 最优解也同时得出. 最优解也同时得出 Y*=CB×B-1(P)

max Z = CXs.t AX≤b xi≥0

(D)

min Z = Ybs.t YA≥C yj≥0

C=(C1,C2,…Cn ), X=(X1,X2,…Xn )T

Y=(Y1,Y2,…Ym )

A=(aij)m×n , b=(b1,b2…bm)TX*为原问题线性规划模型的最优解. Y*为原问题线性规划对偶模型的最优解.

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影子价格的经济意义1.影子价格反映资源对目标函数的边际贡献 影子价格反映资源对目标函数的边际贡献. 影子价格反映资源对目标函数的边际贡献 增加单位资源可使经济收益增加Y*. 增加单位资源可使经济收益增加 2.影子价格反映了资源的稀缺程度 影子价格反映了资源的稀缺程度. 影子价格反映了资源的稀缺程度 Y*>0, 表示资源短缺 影子价格越大 稀缺程度越高 表示资源短缺,影子价格越大 稀缺程度越高. 影子价格越大,稀缺程度越高 Y*=0,资源有剩余 不短缺. 资源有剩余,不短缺 资源有剩余 不短缺 3.影子价格反映了资源的使用价值 影子价格反映了资源的使用价值. 影子价格反映了资源的使用价值 资源占用者赋予资源的一个内部价格,与资源的市场 资源占用者赋予资源的一个内部价格 与资源的市场 价格无直接关系. 价格无直接关系 影子价格可以计算出经济活动的成本

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某家企业生产A,B,C三种产品 需要使用的原材料 劳动 三种产品,需要使用的原材料 例: 某家企业生产 三种产品 需要使用的原材料,劳动 设备使用时数,电是有限的 力,设备使用时数 电是有限的 各种产品对每种资源的单位 设备使用时数 电是有限的,各种产品对每种资源的单位 消耗系数aij及产品的单位利润 见下表. 及产品的单位利润Cj见下表 消耗系数 及产品的单位利润 见下表A 原材料(吨 原材料 吨) 劳动力(人) 劳动力 人 设备(时数 设备 时数) 时数 千瓦) 电(千瓦 千瓦 单价Cj 单价 1 1 3 2 4 B 2 1 1 2 2 C 4 2 2 1 3 资源限制b 资源限制 100 88 180 213

1.试建立该企业收入最大的线性规划模型 给出该问题线性规划 试建立该企业收入最大的线性规划模型. 试建立该企业收入最大的线性规划模型 的对偶模型. 的对偶模型 2.给出原问题的最优解和影子价格 给出原问题的最优解和影子价格. 给出原问题的最优解和影子价格

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为三种产品的产量,企业收入最大的线性规划模型为 企业收入最大的线性规划模型为: 解:设X1, X2, X3为三种产品的产量 企业收入最大的线性规划模型为 设 (P) Max z=4X1+2X2+3X3 X1+ 2X2+ 4X3 ≤100 X1+ X2+ 2X3 ≤88 s.t

Y1 Y2

3X1+ X2+ 2X3 ≤180 Y3 2X1+ 2X2+ X3 ≤213 Y4 xj≥0, j=1,2,3

(D)

Min z=100Y1+88Y2+180Y3+213Y4 Y1+ Y2+ 3Y3 + 2Y4≥4 2Y1+ Y2+ Y3 + 2Y4≥2

s.t

4Y1+ 2Y2+ 2Y3 + Y4≥3 Yi≥0, i=1,2,3,4

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初表CjCB XB B-1*b

4x1

2x2

3x3

0x4

0x5

0x6

0x7 θi

0 0 0 0

x4 x5 x6 x7

100 88 180 213

1 1 3 2 4

2 1 1 2 21.666667 0.666667 0.333333 1.333333 0.666667

4 2 2 1 33.333333 1.333333 0.666667 -0.33333 0.333333

1 0 0 0 01 0 0 0 0

0 1 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 0 0-0.33333 -0.33333 0.333333 -0.66667 -1.33333

0 0 0 1 00 0 0 1 0

100 88 60 106.5

λj=Cj-CB*B -1*Pj0 0 4 0 x4 x5 x1 x7 λj=Cj-CB*B -1*Pj 40 28 60 93

0 0 1 0 0

24 42 180 69.75

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终表Cj CB 2 0 4 0 XB x2 x5 x1 x7 24 12 52 61 4 0 0 1 0 0 2 x2 1 0 0 0 0 3 x3 2 0 0 -3 -1 0 x4 0.6 -0.4 -0.2 -0.8 -0.4 0 x5 0 1 0 0 0 0 x6 -0.2 -0.2 0.4 -0.4 -1.2 0 x7 0 0 0 1 0 θi

B-1*b x1

λj=Cj-CB*B -1*Pj

原问题的最优解X*=(52,24,0,0,12,0,61) 最大收入为 最大收入为256 原问题的最优解 对偶模型的最优解Y*=(0.4,0,1.2,0) 最低的资源估价为 最低的资源估价为256 对偶模型的最优解

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经济分析: 经济分析 1.哪些资源是稀缺资源 程度如何 哪些资源是稀缺资源?程度如何 哪些资源是稀缺资源 程度如何?稀缺资源是原材料和设备 剩余资源是劳动力和电

2.企业应怎样合理利用资源 部门之间资源如何调整 企业应怎样合理利用资源?部门之间资源如何调整 企业应怎样合理利用资源 部门之间资源如何调整?增加稀缺资源的投入,减少剩余资源; 资源由影子价格低的部门调向较高的部门

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3.如果企业改进工艺使原材料的消耗减少 如果企业改进工艺使原材料的消耗减少10%,计算 如果企业改进工艺使原材料的消耗减少 计算 对总利润的影响. 对总利润的影响相当于增加了原材料10%, 因此 利用原材料的影子价格可以知道 该 因此,利用原材料的影子价格可以知道 利用原材料的影子价格可以知道,该 相当于增加了原材料 企业的总利润将增加0.4*100*10%=4万 企业的总利润将增加 万

4. 现有一供应商要求每吨原材料提价到 现有一供应商要求每吨原材料提价到0.45万元 能否接受 万元,能否接受 万元 能否接受?不能.该价格高于该企业原材料的影子价格 不能 该价格高于该企业原材料的影子价格

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5.该公司开发了一个新产品 是不是可以投产生产 假设 该公司开发了一个新产品, 是不是可以投产生产? 该公司开发了一个新产品 知道新产品的单位资源消耗为(4,1,2,1)T,估计产品市场价 知道新产品的单位资源消耗为 估计产品市场价 格为5万 格为 万.Y*=(0.4,0,1.2,0) Y*(aij)=(0.4,0,1.2,0)* (4,1,2,1)T=4 能投产. 能投产 即产品成本为4万

Λ=5-4=1>0