2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质(一)

2．2.2椭圆的几何性质(一)

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．

知识点一椭圆的几何性质

已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2

25＋y2

16＝1，C2：y2

25＋x2

16＝1. 思考1怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标分别是什么？

思考2椭圆具有对称性吗？

思考3椭圆C1、C2中x，y的取值范围分别是什么？

梳理

知识点二 椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？

梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a

，叫做椭圆的________． (2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．

类型一 由椭圆方程研究其几何性质

例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

引申探究

已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．

跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12

，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

类型二 求椭圆的离心率

命题角度1 与焦点三角形有关的求离心率问题

例2 椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝

1－b 2a

2求解．

跟踪训练2 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2

上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．

命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)

例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．

(2)若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．

反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．

跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程

例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b .在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．

跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

1．椭圆x 216＋y 225

＝1的上顶点与右顶点之间的距离为________． 2．若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．

3．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．

4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．

5．过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．

2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．

3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．

提醒：完成作业 第2章 §2.2 2.2.2(一)

答案精析

问题导学

知识点一

思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点坐标为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点坐标为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点坐标为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点坐标为(4,0)与(－4,0)．

思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．

思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4；

C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.

梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b

知识点二

思考 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a

，则0<e <1.e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．

梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0

题型探究

例1 解 将椭圆方程化成标准方程为x 216＋y 29

＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，

离心率e ＝c a ＝74

.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，

四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．

引申探究

解 把椭圆的方程化为标准方程为x 29＋y 2

4＝1，

可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长为a ＝3，

短半轴长为b ＝2.

又得半焦距为c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.

所以椭圆的长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；

四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率e ＝c a ＝53

. 跟踪训练1 解 将椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m

＝1，且e ＝12. (1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,2 3.

焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．

顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0, 3)．

(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为83

3，4.

焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，23

3)．

顶点坐标为A 1(0 …… 此处隐藏：1964字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……