数学建模微分方程的应用举例(2)

微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力

五、追迹问题

设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走; 甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以mv0(n 1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.

建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为y y(x).经过时刻t, 甲在追迹曲线上的点为P(x,y),乙在点B(1,v0t).于是有

tan y

由题设, 曲线的弧长OP为

v0t y

, (8.15) 1 x

x

解出v0t代入(8.15), 得

y 2dx nv0t,

(1 x)y y

两边对x求导, 整理得

1x2

ydx. 0n

1

y 2. n

(1 x)y

这就是追迹问题的数学模型.

这是一个不显含y的可降阶的方程, 设y p(x),y p , 代入方程得

(1 x)p

两边积分, 得

1

p2 或 n

dp p2

dx

,

n(1 x)

1

ln(p p2) ln|1 x| ln|C1|,

n

即 p p

2

C1

. x

将初始条件y |x 0 p|x 0代入上式, 得C1 1.于是

y y 2

2

两边同乘y y ,并化简得

1

, (8.16) x

y y 2 x, (8.17)

微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力

(8.16)与(8.17)式相加, 得

1 1 y x ,

2 x

两边积分, 得

1 n

y (1 x)

2 n 1

代入初始条件y|x 0 0得C2

n 1n

n (1 x)n 1

n 1n

C2.

n

,故所求追迹曲线方程为 2

n 1

n 1n 1

n (1 x)n(1 x)n ny 2(n 1),

2 n 1n 1 n 1

甲追到乙时, 即曲线上点P的横坐标x 1,此时y 距离时被甲追到.

nn.即乙行走至离A点个单位n2 1n2 1